34,35谐和律振动的平面波(4学时)

3-4平面声波在流体介质中的传播第三章理想流体介质中小振幅波的基本规律声波波动方程只是在应用了媒质的基本物理特性以后导得的，并没有考虑具体声源的振动状况及边界上的状况，因此它反映的是理想媒质中声波这个物理现象的共同规律，至于具体的声传播特性还必须结合具体声源及具体边界状况来确定。前言波动方程的应用求出波动方程的一般形式解，然后代以边界条件，求出确定的解。(1)波阵面：声场中具有相同振动状态各点构成的空间曲面。(2)平面声波是指波阵面为平面的声波。(3)平面声波是一种函数形式最简单的声波，是一种理想的波场。设想在无限均匀媒质里有一个无限大平面刚性物体沿法线方向来回振动，这时所产生的声场就是平面波场。前言根据波阵面的形状定义。首先考虑谐和律振动的平面波，有两个原因：①声学中相当多的声源是随时间作简谐振动的；②随时间简谐变化的声场是分析随时间复杂变化的声场的基础。因为根据傅立叶分析，任意时间函数的振动（例如脉冲声波等）原则上都可以分解为许多不同频率的简谐函数的叠加（或积分），可以通过不同频率的简谐振动的叠加（或积分）来求得复杂时间函数的振动的规律。前言1、波动方程和边界条件及解2、谐和律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强设波沿轴方向传播，平面波的波动方程简化为一维声波波动方程，即：01222022tpcxpox1、波动方程和边界条件及解j,etpxtpx求在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场。设方程解的复数形式为：代入波动方程，有这里称为波数，它等于波传播单位距离后落后的相角。0~~222xpkdxxpdπ20ck1、波动方程和边界条件及解常微分方程的一般解可以取正弦、余弦的组合，取复数形式，有：其中为两个任意常数，由边界条件决定。jjeekxkxpxABBA,第一项代表了沿正方向行进的波；第二项代表了沿负方向行进的波。jj,eetkxtkxpxtABxx1、波动方程和边界条件及解一维波动方程的形式解考虑到时间变量，有：利用边界条件确定波的具体形式边界条件1：无限远边界条件，声波传到无限远处消失。在无限空间，不存在反射体，这时不出现反射波，有：表示单向传播的波，称为行波（前进波）。j,etkxpxtA1、波动方程和边界条件及解边界条件2：设振源表面声压为0xj00,etxpxtp0p：声源声压振幅值：声源振动角频率0pAtptxpxcos,00写为复数形式：代入式**j0,etkxpxtp结论1：谐和律平面波传播时，振幅和波形保持不变。1、波动方程和边界条件及解于是，声场中的复数声压为平面波传播时，振幅值保持常数，在平面上的点的振动，比的振动落后相位角为：1xx0x1101011π2π2xxcfxckx声场中的声压分布为)cos(),(~Re),(0kxtptxptxp谐合平面行波场，其中为波数；是波传播单位距离，落后的相位角。它与时间上的角频率对应。为波长；是波在一个周期传播的距离。它与时间上的周期T对应（是波的空间周期）。波长与波数的关系：)cos(),(0kxtptxp0ckTc0kcπ201、波动方程和边界条件及解对于谐合平面行波场，其复声压为：j()0(,)etkxpxtp据尤拉公式，复质点振速为：j()000000,1(,)etkxpxtppuxtdtiiixcc1、波动方程和边界条件及解结论2：谐和律平面波的声压、振速的波形相同，声压和振速的比值等于介质的特性阻抗。定义：介质的特性阻抗，介质的质量密度与介质波速之积，称为介质的特性阻抗。记，。介质的特性阻抗是介质的固有参数，反映了介质的声学性质。00cikxtcpictxptxutxu)cos(,),(~Re),(00000振速为：①在某一瞬时时位于位置处的波经过时间以后位于何处呢？讨论：0tt0xxt1、波动方程和边界条件及解假设经过时间以后，波传播到处。如果，经过时间后波仍在原处；如果，经过时间后波沿正方向移动；如果，经过时间后波沿负方向移动；txx00xt0x0xttxx在声波的传播方向上，时刻、处的声波在时刻、处的波形应该保持不变，即：讨论：1、波动方程和边界条件及解0000jj()00eettkxxtkxpp),(~),(~0000ttxxptxpje1tkxtctkx00xjetkxpxAx000ct讨论：1、波动方程和边界条件及解所以表征了沿正方向行进的波。同理：jetkxpxBx表征了沿负方向行进的波。txc0讨论：1、波动方程和边界条件及解②代表单位时间内平面行波波阵面传播的距离，也就是平面行波的声传播速度，简称声速。推导状态方程时，引进介质的（等熵）波速的概念。00,0)(sPc反映了媒质受声扰动时的压缩性特性。被定义为：1、介质的压缩特性影响声波传播速度的快慢。介质的可压缩性较小，声扰动传播速度较快；介质的可压缩性较大，声扰动传播速度较慢；讨论：1、波动方程和边界条件及解2、声波传播速度和（等熵或等温或其它多方过程）波速的差别波速反映了介质的可压缩性，和声波的传播速度有关，但它是介质固有的性质，和具体的波没有关系。对于某种参数一定的介质，其波速是一个定值。声波传播速度则是描述声波在介质中的传播速度，和具体的波有关。同一种介质中传播的不同类型的波的传播速度不同。理想流体的平面行波的传播速度和波速在数值上相等。00t讨论：1、波动方程和边界条件及解说明这种声波传播过程中，等相位面是平面。00kxtconst00ktx谐合波场等相位面：振动相位相同的空间点构成的曲面，称作谐合波场的等相位面。注意：等相位面和波阵面是两个不同的概念。③任意时刻时，具有相同相位的质点的轨迹是一个平面，即谐和波场的等相位面是一个平面。谐合平面行波场：相位函数为：等相位面为：)cos(),(0kxtptxpkxttx),(常数常数；kxttx),(1、波动方程和边界条件及解0),(||ckdtdxdtdxcakxtatxp相速度：谐合波场的某一声学量的等相位面传播速度，称作该声学量的相速度。记cp谐合平面行波场的的声压相速度为：讨论：结论3：谐和平面行波的声压相速度和振速相速度相等，都等于声波传播的速度。不同时刻，声压和振速的空间分布（t1t2t3）)cos(),(0kxtptxpikxtcptxu)cos(),(000不同空间位置，声压和振速的时间信号波形（x1x2x3）)cos(),(0kxtptxpikxtcptxu)cos(),(000行波行波0102030405060-20246810121416planewavex(m)t(s)定义：波阻抗，谐合波场中某场点处的复声压与复振速之比，称作该点的波阻抗。记，）或),((),,(~rZrZaa),(~),(~),(trutrprZa的量纲：[压强]/[振速]＝[M1T-1L-2]在[MKS]制中基本单位（Kg/s∙m2）（瑞利）2、谐合律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强（1）波阻抗aZ平面声波的波阻抗平面声场中，各位置的波阻抗数值上相等，且为实数，这反映了在平面声场中各位置上都无能量的贮存，在前一个位置上的能量可以完全地传播到后一个位置上。2、谐合律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强是介质固有的一个常数，称为介质的特性阻抗。00cj()000j()000e(,)(,)1(,)etkxatkxpprtZrcurtpc结论4：平面行波波阻抗数值上恰好等于介质的特性阻抗。水的特性阻抗为：瑞利600105.1c空气的特性阻抗为：瑞利43000c（2）谐合律平面行波的声能流密度ikxtcpikxtcpikxtcpkxtpuptxW2)(2cos1)(cos)cos()cos(),(00202002000002、谐合律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强谐合律平面行波场中任意点的声能流密度均为时间的函数；声能流密度矢量方向为声波传播方向，任何时刻均无反向声能流。空间某点处的声能流、声压和质点振速随时间变化曲线某时刻，空间各点处的声能流、声压和质点振速值（3）谐合律平面行波的声波强度2000002002002002121)(cos1),(Re),(Re1)(uccpdtkxtcpTdttxutxpTxITT2、谐合律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强2200200002effeffeffeffeffcuccpupI或谐和律平面波的声波强度为结论5：谐合律平面行波声场中的声强是处处相等的，不随传播距离衰减。声强为声压幅值的平方除2倍的介质特性阻抗（或为振速幅值的平方乘以介质的特性阻抗除2）。引入有效值的概念后，[结论5]可表述为：谐合律平面行波声场中各点声强相等，为声压有效值的平方除介质特性阻抗（或为振速有效值的平方乘以介质的特性阻抗）。2、谐合律平面行波的波阻抗、声能流密度和声强3-5简谐声场和亥母霍兹方程及其解（1）波场时间函数为简谐条件下的波动方程波动方程：因为，时间简谐；引入复声压，令：j(,)()etprtpr（实际声压函数：）j(,)Re{()e}tprtpr将复声压代入波动方程，可得：0),(1),(22202ttrpctrp0)(~)(~2022rpcrp亥姆霍兹（Helmholtz）方程0ck令（称作波场的波数），上式可表示为：0)(~)(~22rpkrp——亥姆霍兹（Helmholtz）方程亥姆霍兹方程，是波动方程中时间函数为谐合函数时，声波的空间分布函数遵循的方程。也可表述为，亥姆霍兹方程是稳态波场的空间分布函数遵循的方程。（2）亥母霍兹方程在直角坐标下的形式解利用‘分离变数法’可得直角坐标下亥姆霍兹方程形式解：其中，波场的波数；0ckxyyxyxyxyxyxyxkkzkkkykxkkkzkkkykxkkkeCeCzyxp)j(,)j(,222222~~),,(附：直角坐标系下利用‘分离变数法’求亥姆霍兹方程形式解0,,,,,,,,2222222zyxpkzyxpzzyxpyzyxpx令zZyYxXzyxp,,得02''''''zZyYxXkzZyYxXzZyYxXzZyYxX两边同除得zZyYxX02''''''kzZzZyYyYxXxX2z''2''2'';;kzZzZkyYyYkxXxXyx22z22kkkkzx0002''2''2''zZkzZyYkyYxXkxXzyxjjjjjjeeeeeexxyyzzkxkxkykykzkzXxABYyCDZzEF（三个常数不是任意的，受到此式的约束）附：直角坐标系下利用‘分离变数法’求亥姆霍兹方程形式解代入时间函数后，可得：222222j[()]j[()],,j()j(),,(,){ee}{ee}xyxyxyxyxyxyxyxyxyxytkxkykkkztkxkykkkzkkkkkktkrtkrkkkkkkprtCCCC其中，0ck)}(,,{222yxyxkk