2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档4.6简单的三角恒等变换

-1-§4.6简单的三角恒等变换1．公式的常见变形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sinαcosα＝12sin2α.(3)1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sinα＝(sinα2＋cosα2)2；1－sinα＝(sinα2－cosα2)2.2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(2)设α∈(π，2π)，则1－cosπ＋α2＝sinα2.(×)(3)在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．(√)(4)设5π2θ3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为155.(×)(5)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)(6)函数f(x)＝cos2x＋3sinxcosx在区间[－π4，π3]上的最大值为32.(√)-2-1．化简：sin2αcosα－sinαcos2α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα答案C解析原式＝2sinα·cos2α－sinαcos2α＝sinα2cos2α－1cos2α＝sinα.2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33答案B解析∵α2∈(π2，π)，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－23＝－63.3．如果α∈(π2，π)，且sinα＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)等于()A.425B．－425C.325D．－325答案D解析由已知cosα＝－35，∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π4＋π4)＝2cosα＝－352.4．(2014·上海)函数y＝1－2cos22x的最小正周期是________．答案π2解析由题意y＝－cos4x，T＝2π4＝π2.-3-题型一三角函数式的化简求值例1(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)＝________.(2)已知sinα＝12＋cosα，且α∈(0，π2)，则cos2αsinα－π4的值为________．答案(1)－cosθ(2)－142解析(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2·sin2θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)方法一∵sinα＝12＋cosα，∴sinα－cosα＝12，∴2sin(α－π4)＝12，∴sin(α－π4)＝24.又∵α∈(0，π2)，∴α－π4∈(－π4，π4)，∴cos(α－π4)＝144，∴cos2α＝－sin[2(α－π4)]＝－2sin(α－π4)cos(α－π4)＝－2×24×144＝－74，∴cos2αsinα－π4＝－7424＝－142.-4-方法二∵sinα＝12＋cosα，∴sinα－cosα＝12，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝14，∴2sinαcosα＝34，∵α∈(0，π2)，∴sinα＋cosα＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋34＝72，∴cos2αsinα－π4＝cosα＋sinαcosα－sinα22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于()A.54B．－54C.43D．－43(2)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．答案(1)D(2)17502解析(1)1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.(2)∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，-5-cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型二三角函数的求角问题例2(1)已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于()A.3π4B.π4或3π4C.π4D．2kπ＋π4(k∈Z)(2)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)，若α∈(0，π4)且f(α2)＝2cos2α，则α＝________.答案(1)C(2)π12解析(1)由sinα＝55，cosβ＝31010且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0α＋βπ，故α＋β＝π4.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sinα＋π4cosα＋π4＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．∵α∈(0，π4)，∴sinα＋cosα≠0.∴(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，∴2α＝π6，即α＝π12.思维升华(1)由三角函数值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求-6-角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．(1)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π4答案(1)C(2)A解析(1)∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22.∴β＝π4.(2)由已知可得tanA＋tanB＝3(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，又0A＋Bπ，∴A＋B＝23π，∴C＝π3.题型三三角变换的应用例3已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数y＝3f(π2－2x)－2f2(x)在区间[0，2π3]上的取值范围．解(1)∵角α终边经过点P(－3，3)，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33，-7-∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，∴y＝3cos(π2－2x)－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin(2x－π6)－1，∵0≤x≤2π3，∴0≤2x≤4π3，∴－π6≤2x－π6≤7π6，∴－12≤sin(2x－π6)≤1，∴－2≤2sin(2x－π6)－1≤1，故函数y＝3f(π2－2x)－2f2(x)在区间[0，2π3]上的取值范围是[－2,1]．思维升华三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．(1)函数f(x)＝3sinx＋cos(π3＋x)的最大值为()A．2B.3C．1D.12(2)函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是________．答案(1)C(2)π解析(1)f(x)＝3sinx＋cosπ3cosx－sinπ3sinx＝12cosx＋32sinx＝sin(x＋π6)．∴f(x)max＝1.(2)f(x)＝22sin2x－22cos2x－2(1－cos2x)＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，∴T＝2π2＝π.-8-二审结论会转换典例：(12分)(2013·山东)设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．审题路线图(1)求ω求f(x)的周期对称中心与对称轴的最近距离T4＝π4T＝π求出ω＝1(2)求f(x)在[π，32π]上的最值由(1)得f(x)＝－sin(2x－π3)求f(x)＝－sin(2x－π3)在[π，32π]上的最值利用换元思想，将2x－π3作为一个整体求2x－π3的范围由π≤x≤32π53π≤2x－π3≤83π结合正弦函数的图象－1≤f(x)≤32.规范解答-9-解(1)f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3×1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω0，所以ω＝1.[6分](2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin2x－π3≤1.所以－1≤f(x)≤32.[10分]故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32和－1.[12分]温馨提醒(1)讨论三角函数性质要先利用三角变换将函数化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)解题中将2x－π3视为一个整体，可以借助图象求函数最值.方法与技巧1．三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．失误与防范1．利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．2．计算形如y＝sin(ωx＋φ),x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆.-10-A组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4等于()A.16B.13C.12D.23答案A解析因为cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos2α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.2．若sinα＝45，则sin(α＋π4)－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析sin(α＋π4)－22cosα＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．在△AB