2016届中考数学复习专题练4-4等腰三角形和直角三角形2

第1页§4.4等腰三角形和直角三角形一、选择题1．(2015·浙江衢州一模，7，3)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于()A．25°B．30°C．35°D．40°解析在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°－25°＝65°.∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D＝∠B＝65°.∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′＝∠CB′D－∠A＝65°－25°＝40°.答案D2.(2014·浙江杭州拱墅二模，1，3分)如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC解析由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，故A正确；由线段垂直平分线的性质可得BC＝CD，再由等腰三角形的性质可得AC平分∠BCD，故B正确；∵BE＝DE，BC＝CD，故Rt△BEC≌Rt△DEC，故D正确；而AB＝BD无法得出，故C不一定成立，故选C.答案C3．(2015·浙江湖州模拟(19)，3，3分)如图，△ABC中，BC＝8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是()A．4B．42C．43D．3解析∵△ABC中，BC＝8，AD是中线，∴BD＝DC＝4.∵将△ADC第2页沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，∴∠C′DA＝∠ADC＝60°，DC＝DC′，∴∠C′DB＝60°，∴△BDC′是等边三角形，∴BC′＝BD＝DC′＝4.答案A4．(2013·湖北武汉洪山3月月考，4，3分)下列各数为边不能组成直角三角形的一组是()A．15，12，9B.32，2，52C．8，15，17D.3，2，5解析A中，∵92＋122＝152，∴能组成直角三角形；B中，∵322＋22＝522，∴能组成直角三角形；C中，∵82＋152＝172，∴能组成直角三角形；D中，(3)2＋22≠(5)2，∴不能组成直角三角形．故选D.答案D5．(2015·浙江嘉兴例卷，8，4分)如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC.则下列四种不同方法的作图中准确的是()解析A．此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故此选项错误；B．此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故此选项错误；C．此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故此选项错误；D．此时BP＝AP，故能得出PA＋PC＝BC，故此选项正确．答案D二、填空题第3页6．(2015·浙江杭州模拟(四)，12，4分)如图，在等腰△ABC的两腰AB，BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ADE＝12∠ACB，则∠B的度数是________．解析设∠B＝x.先由DB＝DE，根据等边对等角得出∠DEB＝∠B＝x，根据三角形外角的性质得出∠ADE＝∠DEB＋∠B＝2x，由∠ADE＝12∠ACB得出∠ACB＝4x.再由AB＝BC，得出∠A＝∠ACB＝4x，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理列出方程4x＋x＋4x＝180°，解方程即可求出∠B的度数．答案20°7．(2015·浙江温州模拟，12，5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝10，AD＝12，则AC＝________．解析∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝AD2＋DC2＝122＋52＝13.答案138．(2013·浙江湖州中考模拟十，16)有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是________度．解析假设等腰三角形甲为△ABC，等腰三角形乙为△DEF(如图所示)．①顶角为∠D，根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使BC与DE重合，DF与AB共线，如果∠BAC为锐角，则F点在AB边上，由于CF＝AC，由图知是不可能的．如果∠BAC为钝角，则F点在BA延长线上，由于CF＝AC，得知乙的底角＝2倍的顶角＝2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，甲的底角是60°.答案36或609．(2015·浙江湖州模拟(19)，11，4分)如图，有一个正三角形图片高为1米，A是三角第4页形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是________．解析设此正三角形的边长为a，则32a＝1，∴a＝233，∴此正三角形的周长为23.∴点A′对应的实数是23.答案23三、解答题10．(2013·吉林长春朝阳期中，21，10分)如图所示，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD＝12，BD＝16，AB＝20，CD＝9.(1)试说明AD⊥BC；(2)求AC的长及△ABC的面积；(3)判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．(1)证明∵AD2＋BD2＝122＋162＝144＋256＝400，AB2＝202＝400，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，即AD⊥BC.(2)解在Rt△ADC中，∵AD＝12，CD＝9，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋92＝15.S△ABC＝12×BC×AD＝12×(16＋9)×12＝150.(3)解△ABC是直角三角形．理由如下：∵AB2＋AC2＝202＋152＝400＋225＝625，BC2＝252＝625，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形．11．(2015·浙江温州模拟(三)，19，8分)如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．第5页解如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．