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第1页§4.5多边形与平行四边形一、选择题1．(2013·浙江温州瓯北一中模拟，5，3分)若从多边形的某一顶点出发只能画五条对角线，则它是()A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形解析除去这一顶点和相邻的两个点不能作对角线之外，能做5条对角线，则这个多边形是5＋3＝8边形．故选C.答案C2．(2015·浙江宁波北仑区一模，9，4分)一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为()A．8B．9C．10D．12解析设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，根据邻补角的定义得到x＋4x＝180°，解出x＝36°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．答案C3．(2015·浙江丽水模拟(二)，2，4分)下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是()解析第一个正方形沿虚线剪成两部分，这两部分可拼成平行四边形；第二个既可以拼成平行四边形，也可以拼成三角形和梯形；第三个拼成的图形为特殊的平行四边形正方形；第四个可拼成平行四边形．第2页答案B4．(2015·浙江温州模拟(2)，10，4分)如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需________个五边形．()A．6B．7C．8D．9解析先根据多边形的内角和公式(n－2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．答案B二、填空题5．(2015·浙江温州模拟(三)，15，5分)如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝________度．解析根据两直线平行，内错角相等∠CDO＝∠AED，再根据菱形的性质CD＝CB，∠BCO＝∠DCO，所以△BCO与△DCO全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠CBO的度数．答案506．(2015·浙江宁波北仑区一模，17，4分)如图，正方形ABCD的边长为4＋22，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是________．解析设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD＝2AB＝42＋4，EF＝BF＝x，∴BE＝2x.第3页∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE＋ED＝2x＋4＋22＝42＋4，解得：x＝2，即EF＝2.答案27．(2015·浙江宁波北仑区一模，18，4分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标为(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．解析∵四边形OCDB是平行四边形，B(8，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝8.过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝12CD＝4.过点C作CE⊥OA于点E，∵A(10，0)，∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝5－4＝1.连结MC，则MC＝12OA＝5，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝MC2－CF2＝52－42＝3，∴点C的坐标为(1，3)．答案(1，3)8．(2015·浙江湖州模拟(19)，13，4分)如图，在10个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是网格的一个顶点，以点P为顶点作格点平行四边形(即顶点均在格点上的四边形)，请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长________．解析首先确定以P为顶点的平行四边形有哪几个，然后根据勾股定理即可求得对角线的长．平行四边形有：▱PABD，▱PACE，▱PMND，▱PMQE，▱APMD，▱APNE，▱PQGA.▱PABD，▱PMND，APMD的对角线长是1和3；▱PACE和PMQE的对角线长是7和3；▱APNE的对角线长是2和2；平行四边形PQGA的对角线长是3和7.答案1或3或7或2或3第4页三、解答题9．(2015·浙江温州模拟(1)，18，8分)如图，F，C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE，BD.求证：四边形ABDE是平行四边形．证明∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC.∴AC＝DF.∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠EDF.∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠EFD.∴△ABC≌△DEF.∴AB＝DE且AB∥DE.∴四边形ABDE是平行四边形．10．(2015·浙江杭州模拟(四)，19，8分)如图，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AF∥EC.∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．(2)解∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2.∵∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，第5页∴BE＝AE＝CE＝12BC＝5.