2016届中考数学复习专题练4-6矩形菱形正方形3

第1页§4.6矩形、菱形、正方形A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·四川泸州，6，3分)菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直解析根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．A．不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；B．不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；C．不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．答案D2．(2015·山东日照，6，3分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项正确；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项错误．答案B第2页3．(2015·山东青岛，7，3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为()A．4B．46C．47D．28解析有三角形的中位线的性质可得AC＝2EF＝23，再由菱形的性质可得OA＝3，BO＝2，所以AB＝（3）2＋22＝7，所以周长＝4AB＝47.答案C4．(2015·安徽，9，4分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．25B．35C．5D．6解析连结EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，求出AO＝12AC＝25，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．答案C5．(2015·重庆B卷，12，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，33)，反比例函数y＝kx的图象与菱形对角线AO交D点，连结BD，当DB⊥x轴时，k的值是()A．63B．－63C．123D．－123解析首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，33)，可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得第3页点D的坐标，又由反比例函数y＝kx的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．答案D二、填空题6．(2015·湖北黄冈，12，3分)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________度．解析根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．答案657．(2015·山东滨州，14，4分)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝35，则对角线AC的长为________．解析连结BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△AOB中，∵AB＝15，sin∠BAC＝35，∴sin∠BAC＝BOAB＝35，∴BO＝9，∴AB2＝OB2＋AO2，∴AO＝AB2－OB2＝152－92＝12，∴AC＝2AO＝24.答案248．(2015·四川宜宾，12，3)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE＝3，则点P到AD的距离为________．解析由菱形的性质：“菱形的对角线平分每一组对角”得AC平分∠DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE＝3，∴点P到AD的距离＝PE＝3.答案39．(2015·山东日照，14，4分)边长为1的一个正方形和一个等第4页边三角形如图摆放，则△ABC的面积为______．解析过点C作CD和CE垂直正方形的两个边或其延长线，垂足分别为D，E，如图，则四边形DBEC是矩形，∴CE＝DB＝12，∴△ABC的面积＝12×1×12＝14.答案14三、解答题10．★(2015·浙江嘉兴，19，8分)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．解(1)与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD，∠CDE；(2)选∠AED＝∠BFA.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠B＝90°，DA＝AB.在Rt△DAE与Rt△ABF中，DA＝AB，AF＝DE，∴Rt△DAE≌Rt△ABF.∴∠AED＝∠BFA.11．(2015·浙江衢州，21，8分)如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2.(1)求证：EG＝CH；第5页(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(1)证明由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.由矩形ABCD知AD＝BC，∴EG＝CH.(2)解∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2.∴DG＝2，DF＝2，∴AD＝2＋2，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝2＋2＋2＝2＋22.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·重庆B卷，8，4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AO＝OB，又∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.故选B.答案B2．(2014·浙江宁波，6，4分)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是()A．10B．8C．6D．5解析∵菱形的两条对角线长分别是6和8，对角线互相垂直平分，∴菱形的边长为第6页32＋42＝5，故选D.答案D3．(2014·浙江宁波，11，4分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.H是AF的中点，那么CH的长是()A．2.5B.5C.322D．2解析法一取BE的中点M，连结HM，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，∴AB⊥BE，FE⊥BE，∴AB∥FE，∵H是AF的中点，∴HM＝12(AB＋EF)＝12(1＋3)＝2，HM∥FE，∴HM⊥BE.∵BM＝12(BC＋CE)＝2，∴CM＝BM－BC＝2－1＝1，在Rt△HMC中，HC＝HM2＋CM2＝22＋12＝5，故选B.法二连结AC，CF，则∠ACB＝∠FCE＝45°.∴∠ACF＝90°.∵AC＝2，CF＝32，∴AF＝（2）2＋（32）2＝25，∵H是AF的中点，∴HC＝12AF＝5，故选B.答案B4．(2014·山东青岛，7，3分)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4B．32C．4.5D．5解析设BF＝x，则C′F＝CF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.在Rt△BFC′中，BF2＋C′B2＝C′F2，第7页∴32＋x2＝(9－x)2，解得x＝4.故选A.答案A5．(2013·江苏连云港，8，3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1B.2C．4－22D．32－4解析由∠BAE＝22.5°，∠ADB＝45°，易知△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，所以DE＝AD＝4，BE＝42－4，设EF＝x，则2x2＝(42－4)2，解得x＝4－22，故选C.答案C二、填空题6．(2013·江苏宿迁，12，3分)如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是________度时，两条对角线长度相等．解析当∠α是90°时，平行四边形框架是矩形，由矩形的性质可知，对角线长度相等．答案907．(2014·浙江金华，15，3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是________．解析因为G是CD的中点，所以DG＝CG＝4.在△DGE与△CGF中，∠D＝∠GCF，DG＝CG，∠EGD＝∠FGC，所以△DGE≌△CGF.所以CF＝DE，FG＝EG.令BC＝AD＝x，则CF＝DE＝x－4，所以BF＝2x－4，在Rt△DGE中，根据勾股定理可得EG＝ED2＋DG2＝（x－4）2＋42.又因为HF垂直平分BE，所以EF＝BF，BF2＝(2EG)2，所以(2x－4)2＝4[(x－4)2＋42]，解得x＝7，故答案为7.第8页答案78．(2013·浙江舟山，16，4分)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为________．解析依题意，得到右图．易发现小球是沿着E→F→G→H→M→N→E的轨迹来运动的，故需分别求出线段EF，FG，GH，HM，MN，NE的长度，同时通过观察图形，易得到EF＝HM＝5，GH＝EN＝125，FG＝MN＝325，∴当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为65.答案659．(2013·浙江丽水，15，4分)如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，则ABAE＝________．解析作EH⊥AB于H，由对称性知，图形关于AF对称，∴∠BAE＝∠DAG＝12(∠BAD－∠EAG)＝30°，∠B＝180°－∠BAD＝45°.在Rt△BHE中，∠B＝∠BEH＝45°，设BH＝x，则EH＝BH＝x，在Rt△EHA中，∠BAE＝30°，则AE＝2HE＝2x，AH＝AE2－EH2＝（2x）2－x2＝3x.∴AB＝BH＋AH＝x＋3x，故ABAE＝x＋3x2x＝1＋32.答案1＋32第9页三、解答题10．(2014·浙江嘉兴，20，8分)已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AD∥BC.∴∠EDB＝∠FBO.∵O为BD中点，∴BO＝DO.在△EOD和△FOB中，∠EDO＝∠OBF，DO＝BO，∠EOD＝∠FOB.∴△DOE≌△BOF(ASA)．(2)解当∠DOE＝90°时，四边形BFED为菱形．理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE.又∵B