2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练18

题组层级快练(十八)(第二次作业)1．若定义在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且f(x0)为极小值，则下列说法正确的是()A．函数f(x)有最小值f(x0)B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C．函数f(x)有最大值也可能是f(x0)D．函数f(x)不一定有最小值答案A解析闭区间上的唯一的极值点就是最值点．2．函数f(x)＝xex，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.1eC.4e4D.2e2答案B3．若函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则实数a的取值范围为()A．0≤a1B．0a1C．－1a1D．0a12答案B4．(2015·云南昆明一模)已知函数f(x)＝lnx＋1lnx，则下列结论中正确的是()A．若x1，x2(x1x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是增函数B．若x1，x2(x1x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是减函数C．∀x0，且x≠1，f(x)≥2D．∃x00，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数答案D解析由已知f′(x)＝1x－1xln2x＝ln2x－1xln2x(x0，且x≠1)，令f′(x)＝0，得x＝e或x＝1e.当x∈(0，1e)时，f′(x)0；当x∈(1e，1)∪(1，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0.故x＝1e和x＝e分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，故函数f(x)在(1e，1)和(1，e)上单调递减，所以A，B错；当0x1时，lnx0，f(x)0，故C错；若x0≥e，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数，D正确．5．(2015·四川内江一模)已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为()A．c14B．c≤14C．c≥14D．c14答案A解析由题意可知f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c0⇒c14.6．f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋1eB．1C．e＋1D．e－1答案D解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.令f′(x)0，得x0，令f′(x)0，得x0，则函数f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝1e＋2－e12＋2－e0，所以f(1)f(－1)．故选D.7．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.答案3解析f′(x)＝x2＋2x－ax＋12，由f(x)在x＝1处取得极值知f′(1)＝0，∴a＝3.8．(2015·黑龙江哈尔滨一模)函数y＝x＋2cosx在区间[0，π2]上的最大值是________．答案π6＋3解析y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈[0，π2]，得x＝π6.则x∈[0，π6)时，y′0；x∈(π6，π2]时，y′0，故函数在[0，π6)上单调递增，在(π6，π2]上单调递减，所以当x＝π6时，函数取最大值π6＋3.9．(2015·昌平一模)已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________．答案1解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝4x＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.10．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是________．①f(x)0的解集是{x|0x2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)既没有最小值，也没有最大值．答案①②③解析若f(x)＝(2x－x2)ex0，则0x2，①正确；∵f′(x)＝－ex(x＋2)(x－2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．11．(2015·启东中学调研)已知函数f(x)＝ex＋alnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案②④解析由f(x)＝ex＋alnx，可得f′(x)＝ex＋ax，若a0，则f′(x)0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x∈(0,1)，使得f(x)0即得命题①③不正确；若a0，设ex＋ax＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)0，在(m，＋∞)上f′(x)0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案(1)a≤3(2)a22解析(1)f′(x)＝－2x＋a－1x，∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x∈(0，12)时－2x＋a－1x≤0恒成立，即a≤2x＋1x恒成立．设g(x)＝2x＋1x，则g′(x)＝2－1x2.∵x∈(0，12)时1x24，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)g(12)＝3，∴a≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．故a应满足Δ0，a20⇒a2－80，a0⇒a22.∴当a22时，f′(x)＝0有两个不等的实数根．不妨设x1x2，由f′(x)＝－1x(2x2－ax＋1)＝－2x(x－x1)(x－x2)知，0xx1时f′(x)0，x1xx2时f′(x)0，xx2时f′(x)0，∴当a22时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．13．(2015·衡水调研卷)已知函数f(x)＝12x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x3的图像的下方．答案(1)极小值为12(2)f(x)min＝12，f(x)max＝12e2＋1(3)略解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为12.(2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(e)＝12e2＋1.(3)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x＋2x2x，当x1时，F′(x)0，故F(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F(1)＝－160，所以在区间[1，＋∞)上F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．14．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．答案(1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞)(2)a＝－10解析(1)当a＝－4时，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0，得x＝25或x＝2.由f′(x)0，得x∈0，25或x∈(2，＋∞)．故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．(2)f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a0，由f′(x)＝0，得x＝－a10或x＝－a2.当x∈0，－a10时，f(x)单调递增；当x∈－a10，－a2时，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增．易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1－a2≤4，即－8≤a－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不符合题意．③当－a24，即a－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)．当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上有a＝－10.15．(2014·重庆理)已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求实数c的取值范围．答案(1)a＝1，b＝1(2)f(x)在R上为增函数(3)(4，＋∞)思路对于(1)，先根据相关的求导法则，正确求得相应函数的导数；再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的待定系数，对于(2)，结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应函数的导数的符号，进而确定其单调性；对于(3)，结合函数的导数与极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的取值范围．解析(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1＞0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4＞0，此时f(x)无极值；当c＞4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋2t－c＝0有两根t1,2＝c±c2－164＞0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12lnt1，或x2＝12lnt2.当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；又当x＞x2时，f′(x)＞0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．