2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练62

题组层级快练(六十二)1．若椭圆x216＋y2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．25B．23C．45D．43答案D解析∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b2＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝23，2c＝43.故选D.2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.x24＋y23＝1B.x216＋y212＝1C.x24＋y2＝1D.x216＋y24＝1答案A解析圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.又e＝ca＝12，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.3．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是()A.23B.3C.33D.13答案A解析因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝23.4．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为()A．3B．3或253C.15D.15或5153答案B解析若焦点在x轴上，则有5m，5－m5＝105.∴m＝3.若焦点在y轴上，则有m5，m－5m＝105.∴m＝253.5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．6．(2015·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x24－y212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于()A.35B.45C.54D.34答案B解析因为双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝4＋12＝4，e＝ca＝45，故选B.7．(2015·广东广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.16B.13C.36D.33答案D解析设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.由勾股定理，得|F1F2|＝|PF1|2－|PF2|2＝3|PF2|.由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|⇒c＝3|PF2|2.所以椭圆的离心率为e＝ca＝3|PF2|2·23|PF2|＝33.故选D.8．(2015·河北邯郸一模)已知P是椭圆x225＋y2b2＝1(0b5)上除顶点外一点，F1是椭圆的左焦点，若|OP→＋OF1→|＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为()A．6B．4C．2D.52答案C解析取PF1的中点M，连接OM，OP→＋OF1→＝2OM→，∴|OM|＝4.在△F1PF2中，OM是中位线，∴|PF2|＝8.∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，解得|PF1|＝2，故选C.9．(2015·北京海淀期末练习)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P→·F2A→的最大值为()A.32B.332C.94D.154答案B解析由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y20＝94，所以y0＝±32.设P(x1，y1)，则F1P→＝(x1＋1，y1)，F2A→＝(0，y0)，所以F1P→·F2A→＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3，F1P→·F2A→的最大值为332.故B正确．10．(2015·河北唐山二模)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A．[12，1)B．[22，32]C．[22，1)D．[32，1)答案C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.∴sinα＝ba≤sin45°＝22，解得a2≤2c2，∴e2≥12.即e≥22.而0e1，∴22≤e1，即e∈[22，1)．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．答案x216＋y28＝1解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.12．椭圆x225＋y216＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足OM→＝12(OP→＋OF→)，则|OM→|＝________.答案2解析设右焦点为F′，由OM→＝12(OP→＋OF→)知M为线段PF中点，∴|OM→|＝12|PF′→|＝12(10－6)＝2.13．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若点A坐标为(3,0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________．答案3解析∵PM→·AM→＝0，∴AM→⊥PM→.∴|PM→|2＝|AP→|2－|AM→|2＝|AP→|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP→|min＝2，∴|PM→|min＝3.14．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225＋y29＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为________．答案10＋210解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋62＋22＝10＋210.15.如右图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2→＝2F2B→，求椭圆的方程．答案(1)22(2)x23＋y22＝1解析(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由AF2→＝2F2B→，解得x＝32，y＝－b2.代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1.即94a2＋14＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为x23＋y22＝1.16．(2014·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.答案(1)12(2)a＝7，b＝27思路本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M，F1的坐标都用椭圆的基本量a，b，c表示，由斜率条件可得到a，b，c的关系式，然后由b2＝a2－c2消去b2，再“两边同除以a2”，即得到离心率e的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”，则可利用△MF1F2的三边比值快速求解，有：|F1F2|＝2c，|MF2|＝2c×34＝32c，则|MF1|＝52c，由此可得离心率e＝|F1F2||MF1|＋|MF2|＝12.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”，可得yM＝b2a＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN|＝5|F1N|”为向量形式，可得到N的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a，b的值．解析(1)根据c＝a2－b2及题设知Mc，b2a，b2a2c＝34，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12，ca＝－2(舍去)．故C的离心率为12.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则2－c－x1＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c，y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得9a2－4a4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝27.1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为35.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．10B．12C．16D．20答案D解析如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝ca＝35，即c＝35a，∴a2－c2＝1625a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.34答案A解析由d1＋d2＝2a＝4c，∴e＝ca＝12.3．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e∈(12，1)，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B．(3，163)C．(0,3)∪(163，＋∞)D．(0,2)答案C解析当k4时，c＝k－4，由条件知14k－4k1，解得k163；当0k4时，c＝4－k，由条件知144－k41，解得0k3，综上知选C.4．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A，B，则△ABM的周长为______________．答案8解析直线y＝k(x＋3)过定点N(－3，0)，而M，N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.5．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．答案(1)x216＋y212＝1(2)1≤m≤4解析(1)由题意知c＝2，ab＝23，a2＝b2＋4，解之得a2＝16，b2＝12.∴椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)设P(x0，y0)，且x2016＋y2012＝1，∴|MP→|2＝(x0－m)2＋y20＝x20－2mx0＋m2＋12(1－x2016)＝14x20－2mx0＋m2＋12＝14(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．∴|MP→|2为关于x0的二次函数