2016届高二寒假数学试题1答案

2016届高二寒假数学试题1参考答案12016届高二寒假数学试题1参考答案一、选择题：CABCC,BDDDA二、填空题：11.7212.-513.3614.2315.②③三、解答题：16.解：（1）4cos,sin,cos,sin5cosONxxPQxx，∴yONPQ224sincossin5cosxxx．-------------2分又4cos5sinx，2224sincossincos2sin5cosxyxxxx1cos211cos2cos2222xxx-------------5分∴该函数的最小正周期是．-------------6分（2）∵cos,sin,cos,sinOMONxx∴12coscossinsincos13OMONxxx-------------7分x是锐角25sin1cos13xx-------------8分OM∥PQ4cossinsincos05xx，即4sin5x-----------10分x是锐角23cos1sin5xx-------------11分cos2coscoscossinsinxxxxxx312451651351365．-------------13分17．解：（1）根据题意可列出如下方程组：2016届高二寒假数学试题1参考答案2GFEODC1A1B1CBA,1)2(83)(,4111211211qdaqdaqa………4分解得21,21,111qda……………6分（2）11nnnnqaa111])1([nqdna1)21(]21)1(1[nnnn)21)(1(，………8分nnnaaaaT332211nn)21()1()21(4)21(3)21(2321，132)21()1()21(3)21(221nnnT，两式相减得132)21)(1()21()21()21(121nnnnT1)21)(1(211])21(1[2121nnn，nnnT233，…………12分18.（本小题满分12分）（1）证明:连接1BC,设1BC与1BC相交于点O,连接OD,∵四边形11BCCB是平行四边形,∴点O为1BC的中点.∵D为AC的中点，∴OD为△1ABC的中位线,∴1//ODAB.……2分2016届高二寒假数学试题1参考答案3∵OD平面1BCD,1AB平面1BCD,∴1//AB平面1BCD.……4分(2)解:依题意知，12ABBB，∵1AA平面ABC,1AA平面11AACC,∴平面ABC平面11AACC，且平面ABC平面11AACCAC.作BEAC，垂足为E，则BE平面11AACC，……5分设BCa，在Rt△ABC中，2224ACABBCa，224ABBCaBEACa，∴四棱锥11BAACD的体积1111132VACADAABE2213242624aaaa.……6分依题意得，3a，即3BC.……7分解法1:∵11,,ABBCABBBBCBBB,BC平面11BBCC，1BB平面11BBCC，∴AB平面11BBCC.取BC的中点F，连接DF，则DF//AB,且112DFAB.∴DF平面11BBCC.作1FGBC，垂足为G，连接DG，由于1DFBC，且DFFGF，∴1BC平面DFG.2016届高二寒假数学试题1参考答案4OzyxDC1B1A1CBA∵DG平面DFG,∴1BCDG.∴DGF为二面角1CBCD的平面角.……10分由Rt△BGF～Rt△1BCC,得11GFBFCCBC,得113231321313BFCCGFBC,∴平面1CBC与平面1DBC夹角的余弦值为32222.……12分解法2:∵11,,ABBCABBBBCBBB,BC平面11BBCC，1BB平面11BBCC，∴AB平面11BBCC.以点1B为坐标原点,分别以11BC,1BB,11BA所在直线为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系1Bxyz.则0,2,0B,13,0,0C,0,2,2A,3,2,12D.∴13,2,0BC,3,0,12BD设平面1BCD的法向量为n,,xyz,由n10BC及n0BD,得320,30.2xyxz，令2x,得3,3yz.故平面1BCD的一个法向量为n2,3,3,……9分又平面1BCC的一个法向量为0,0,2AB,2016届高二寒假数学试题1参考答案5∴cosn,ABnABnAB200323322222.……10分∴平面1CBC与平面1DBC夹角的余弦值为32222.……12分19.解：设2211,,,yxByxA由yx42，得,21'xy过点B的切线方程为：2222xxxyy，即0222222xyyxx……………2分由已知：1142122222xxy，又4222xy，……………4分3,32122222yxx，即点B坐标为3,32，……………5分直线l的方程为：33yx.…………6分（Ⅱ）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：1kxy，…………7分联立yx42，得0442kxx4,42121xxkxx81622221kxx…………8分解法一：222222212111ABAEBDkxxACBC22222212112211111kxxxyxy………10分2016届高二寒假数学试题1参考答案622222212111222122kxxxyyxyy222222121112221121121kxxxkxkxxkxkx212122246kxxkxx＝2822k…………13分解法二：22222211ABAEBDACCBACCB1122222,1,12ACCBxyxy…………10分12122112xxyy12122222xxkxkx…………11分212122246kxxkxx2282k…………13分解法三：441414112222121kxxyyAB,,231611021412121222xxyxCEACAE…………10分同理，,231622422xxBD…………11分2222282ABAEBDk故222ABAEBD的取值范围是,2.…………13分19．解：（1）xaxxf2)('，--------------------------------------------------1分因为曲线在点1,1处的切线方程为1y，切线斜率为0.2016届高二寒假数学试题1参考答案7∴02)1('af，2a-∴xxxfln2)(2---------------------------------2分（2）设exexFx，则eexFx，------------------------3分0x1F，x时当x,1，Fx时为增函数；0x1F，x时当x1,，Fx时为减函数；011minFx，Fx时，exex----------------------5分（3）由（1）可知，方程)()(xgxf，即03ln22bxxx。设bxxxxh3ln22)(，则xxxh211)('。令0)('xh，并由0x，得02xx，解得12xx0，得1x。令0)('xh，并由0x，解得10x-----------------7分列表分析：x（0，1）1（1，+）)('xh—0+)(xh递减极小值0递增知)(xh在1x处取最小值b33，-------------------------------------9分（ⅰ）当1b时，0)1(h，在0x且x≠1时，.0)(xh∴0)(xh在（0，+）上只有一个解，即当1b方程)()(xgxf有唯一解---------------------------10分（ⅱ）当1b时，0)1(h，在0x且x≠1时，.0)(xh∴0)(xh在（0，+）上无实数解，2016届高二寒假数学试题1参考答案8即当1b方程)()(xgxf的解的个数为零.-------------11分（ⅲ）当1b时，0)1(h，又0362333bbeeehbbb，故函数)(xh在区间1,3be上有一个零点；由（2）beeeehbbbb3ln2210101010beebb23210100故函数)(xh在区间be10,1上有一个零点,1b时，∴0)(xh在（0，+）上有两个实数解，即方程)()(xgxf的解的个数为2.-------------------13分综上：方程)()(xgxf的解的个数为：1b时一个，1b时0个，1b时2个.--------14分21、选修4-5：不等式选讲证明：（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②……6分故.又③所以原不等式成立.……8分当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等22223133()1113()abcabcabcabc2231119()abcabc22222233111()3()9()abcabcabcabc22333()9()22763abcabc22333()9()abcabc2016届高二寒假数学试题1参考答案9号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。……10分（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以①同理②……6分故③所以原不等式成立.……8分当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。……10分几何证明选讲（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。143222222222ababbcbccaac222abcabbcac222111111abcabbcac2222111()abcabc11133363abbcacabbcac222()()()3abbcac1432016届高二寒假数学试题1参考答案10因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。