2016年一轮高考复习第46讲分类和分步计数原理与排列组合的基本问题教师打印版

湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”1走进2014年高考1.【2014年重庆卷（理09）】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.32.【2014年安徽卷（理08）】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（A）24对（B）30对（C）48对（D）60对3.【2014年辽宁卷（理06）】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A．144B．120C．72D．244.【2014年全国大纲卷（05）】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种5.【2014年四川卷（理06）】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A．192种B．216种C．240种D．288种6.【2014年浙江卷（理14）】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.高中数学培优2016高考一轮复习（理科）第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题辅导老师：高考总分750分，高考得分723分的湖南高考状元的数学老师电话：[phone]★★★★★★★湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”2第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题【知识要点】1．分类加法计数原理完成一件事件有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤分步，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4．排列P18．有一个圆形区域被直径分成6块(如图所示)，在每一块区域内种植植物，相邻的两块区域种植不同的植物，现有4种不同的植物供选择，一共有多少种不同的种法？8.【解析】分三类考虑．第一类，A，C，E种同一种植物，有4种种法，当A，C，E种好后，B，D，F从余下3种植物中选1种，各有3种选法，一共有4×3×3×3＝108种种法；第二类，A，C，E种两种植物，有A42种种法，当A，C种同一种植物时，B有3种种法，D，F有2种种法，若C，E，或E，A种同一种植物，种法种数相同，因此，共有A42×3×(3×2×2)＝432种种法；第三类，A，C，E种三种植物，有A43种种法，这时，B，D，F各有2种种法，一共有A43×23＝192种种法．由分类计数原理有：共有108＋432＋192＝732种种法．P14湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”37．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名女生相邻，则不同排法的种数是____．7.【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有C32A22＝6种不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙．为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类，女生A，B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24种排法；第二类，“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12种排法；第三类，女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法．此时共有6A22＝12种排法．三类之和为24＋12＋12＝48种．P13(1)排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示．(3)排列数公式：Anm＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，这里n，m∈N*，并且m≤n.(4)全排列：n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，即Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！．于是排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝n！（n－m）！．规定0！＝1．5．组合(1)组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用Cnm表示．(3)组合数的计算公式：Cnm＝AnmAmm＝n！m！（n－m）！=P2湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”4n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）m（m－1）·…·2·1，这里n，m∈N*，并且m≤n.Cn0＝1．(4)组合数的性质：①Cnm＝Cnn－m；②Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1．典型例题考点一、排列数与组合数的计算和应用例题1.(1)C100＋C102＋C104＋…＋C1010＝____．(2)已知1C5m－1C6m＝710C7m，则C8m＝____．(3)解方程：A2x＋14＝140Ax3.【解析】(1)C100＋C102＋C104＋…＋C1010＝2102＝29＝512.(2)m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}．由已知得，m！（5－m）！5！－m！（6－m）！6！＝7×（7－m）！m！10×7！.即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，∴m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.∵m∈[0，5]，∴m＝2，∴C8m＝C82＝28.(3)由)2)(1(140)22)(12(2)12(,3*,412xxxxxxxxNxxP35．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种5.【解析】利用分类讨论法求解．由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C32＝3种情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C42＝12种情况．由上综合知，共有20种情况．6．在某跳水运动员的一项跳水实验中，先后要完成5个不同的动作，其中动作P只能出现在第一步或最后一步，动作Q和R必须相邻，则动作顺序的编排方法共有____种．6.【解析】P动作的排法有A21种，捆绑动作R，Q的排法有A22种，R，Q与余下两个动作有A33种排法，故共有编排方法N＝A21A22A33＝24种．P12湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”5计数原理，共有4×4×4＝43种可能．故选A.2．从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则不同的选派方案有()A．180种B．360种C．15种D．30种2.【解析】A64＝6×5×4×3＝360.3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种3.【解析】从7门课程中选3门的总数为C73＝35种，其中不满足条件的选法数为C33＋C43＝5种，所以满足题目条件的选法数为35－5＝30种，故选A.4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4.【解析】利用分步乘法计数原理求解．先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A21种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A21·1＝12(种)不同的排列方法．P11得x≥3，x∈N*x（x－1）（4x－23）（x－3）＝0，∴x＝3.【点评】理解排列数和组合数的意义，灵活应用组合数的性质是解决有关排列数和组合数方程或恒等式问题的关键．考点二、计数原理及应用例题2.(1)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A.192种B．128种C．96种D．12种【解析】可分三步：第一步，填A、B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B只能填入1或2；若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.(2)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．P4湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题“一对一”6【解析】第一类：既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：既会排版又会印刷的2人中被选出1人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法；再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．【点评】应用分类加法原理的题时，分类标准要明确，分类时应不重不漏，应用分步计数原理解题时，要合理分步，各步互不干扰，难度较大．考点三、组合的基本问题及解法例题3.某校文艺宣传社团有男演员4名，女演员6名，其中男女队长各1人，从中选派5人外出演出，在下列情形下，各有多少种选派方法？(1)只需一名队长参加；(2)队长至少有1人参加；(3)至少有一名男演员．P56．(2013福建)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．106.【解析】当a＝0时，2x＋b＝0，x＝－b2，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.7．(2013四川)从1，3，5，7，9