2016年一轮高考复习第69讲直线和圆锥曲线教师打印版

湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”1【知识要点】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0f（x，y）＝0，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线和圆锥曲线C相交于不同的两点；Δ＝0⇔直线和圆锥曲线C相切于一点；Δ0⇔直线和圆锥曲线C没有公共点．(2)当a＝0时，若圆锥曲线是双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行或重合；若圆锥曲线是抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦．(2)圆锥曲线弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|＝21ka．(抛物线的焦点弦长|AB|＝1222sinPxxP，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．★★★★★★高中数学培优2016高考一轮复习（理科）第69讲直线与圆锥曲线的位置关系辅导老师：高考总分750分，高考得分723分的湖南高考状元的数学老师电话：[phone]★★★★★★★湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”2第69讲直线与圆锥曲线的位置关系【学习目标】1．掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；2．掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法；3．能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题；4．理解数形结合的思想．典型例题考点一、中点弦问题例1已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，求E的方程．【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差，得y1－y2x1－x2＝b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝－12b2－15a2＝4b25a2.又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，得a2＝4，b2＝5.所以双曲线的标准方程是x24－y25＝1.P1另：令m＝2k2－3(m＞0)，则2k2＝m2＋3，∴S＝22mm2＋4＝22m＋4m≤22.当且仅当m＝4m，即m＝2时，Smax＝22.此时k＝±142.∴所求直线方程为±14x－2y＋4＝0.解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y2)，B(x2，y2)，则直线l与x轴的交点D－2k，0.由法一知k2＞32，且x1＋x2＝－8k1＋2k2，x1·x2＝61＋2k2，∴S△AOB＝12|OD|·|y1－y2|＝122k·|kx1＋2－kx2－2|＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝16k2－241＋2k2＝222k2－31＋2k2.下同法一．P14湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”3又由韦达定理得x1＋x2＝－8k1＋2k2，x1·x2＝61＋2k2，∴|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k21＋2k216k2－24.原点O到直线l的距离d＝21＋k2.∴S△AOB＝12|AB|·d＝16k2－241＋2k2＝222k2－31＋2k2.把S＝16k2－241＋2k2两边平方，整理得4S2k4＋4(S2－4)k2＋S2＋24＝0.①∵S≠0，∴16（S2－4）2－4×4S2（S2＋24）≥0，4－S2S2＞0，S2＋244S2＞0，得S2≤12.又∵S＞0，∴0＜S≤22.则S△AOB的最大值为S＝22，代入方程①得4k4－28k2＋49＝0，k＝±142.∴所求直线方程为±14x－2y＋4＝0.P13【点评】有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问题，一般采用如下两种方法：(1)“设而不求”的方法．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要具体求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法．(2)作差法．在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m，y1＋y2＝2n，故可求出斜率kAB＝y1－y2x1－x2，最后由点斜式写出直线AB的方程．P2湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”4考点二、位置关系的判定与应用例2给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，称圆心在原点O，半径为a2＋b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，讨论直线l1与l2的位置关系．【解析】(1)因为c＝2，a＝3，所以b＝1，所以椭圆的方程为x23＋y2＝1，“准圆”的方程为x2＋y2＝4.(2)①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝3或x＝－3，当l1的方程为x＝3时，此时l1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)(或(3，－1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1(或y＝－1)，即l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可得l1的方程为x＝－3时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P(x0，y0)，其中x02＋y02＝4，设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线y＝t(x－x0)＋y0，则y＝tx＋（y0－tx0）x23＋y2＝1，消去y得到x2＋3(tx＋(y0－tx0))2－3＝0，即(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0，Δ＝[6t(y0－tx0)]2－4·(1＋3t2)[3(y0－tx0)2－3]＝0，经过化简得到：(3－x02)t2＋2x0y0t＋1－y02＝0，因为x02＋y02＝4，所以有(3－x02)t2＋2x0y0t＋(x02－3)＝0.t1t2＝－1，所以两直线垂直．综上，l1与l2的位置关系是垂直．P3∴m＜0或m＞4.又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－14.∴m的取值范围是－14，0∪(4，＋∞)．8．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且长轴长为22.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过点P(0，2)，且与椭圆相交于A，B两点，当△AOB面积取最大值时，求直线l的方程．8.【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，如图所示．(1)由已知b＝c，2a＝22，a2＝b2＋c2，得a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋2，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0.∵直线l与椭圆相交于A，B两点，∴Δ＞0⇒64k2－24(1＋2k2)＞0，解得k2＞32.P12湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”57．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．7.【解析】(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得：a＝3，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)联立y＝kx＋m，x23－y2＝1.整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴1－3k2≠0，Δ＝12（m2＋1－3k2）0.可得m23k2－1且k2≠13，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．则x1＋x2＝6km1－3k2，∴x0＝x1＋x22＝3km1－3k2，∴y0＝kx0＋m＝m1－3k2.由题意，AB⊥MN，∵kAB＝m1－3k2＋13km1－3k2＝－1k(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m＞0，P11【点评】直线与圆锥曲线位置关系研究的常用方法是化归为一元二次方程并应用一元二次方程的相关知识与方法．P4湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第69讲直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”6三、弦长公式及应用例3已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.(1)若AB的中垂线经过点P(0，2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．【解析】法一：(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入方程y2＝4x得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝4－2kbk2＝2，得b＝2k－k，∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2k，∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为1，2k，∴AB的中垂线方程为y＝－1k(x－1)＋2k＝－1kx＋3k，∵AB的中垂线经过点P(0，2)，故3k＝2，得k＝32，∴直线AB的方程为y＝32x－16，(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－1kx＋3k，∴M点的坐标为(3，0)，因为直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，∴M到直线AB的距离d＝|3k2＋2－k2|k4＋k2＝2k2＋1|k|，由k2x－ky＋2－k2＝0y2＝4x得k24y2－ky＋2－k2＝0，y1＋y2＝4k，y1·y2＝8－4k2k2，|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝41＋k2k2－1k2，∴S△MAB＝41＋1k21－1k2，设1－1k2＝t，则0t1，P54．若椭圆x236＋y29＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率是()A．2B．－2C.13D．－124.【解析】设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x12＋4y12＝36，x22＋4y22＝36，两式相减得x12－x22＝－4(y12－y22)，此弦斜率为y1－y2x1－x2＝x1＋x2－4（y1＋y2）＝8－4×4＝－12，故选D.5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]5.【解析】由已知可