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第1页（共16页）2016年中考数学专题复习第三讲整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：1．整式 ：由数与字母的积组成的代数式整式多项式：。单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。2．同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。【名师提醒】：1．单独的一个数字或字母都是式。2．判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。二、整式的运算：1．整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.②添括号法则：a+b+c=a+()，a-b-c=a-()③整式加减的步骤是先，再。【名师提醒】：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。2．整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)=。③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)=。④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2=。【名师提醒】：1．在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。2．两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。3．整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。第2页（共16页）②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m=。三、幂的运算性质：1．同底数幂的乘法：不变相加，即：aman＝（a＞0，m、n为整数）2．幂的乘方：不变相乘，即：(am)n＝（a＞0，m、n为整数）3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。即：(ab)n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。4．同底数幂的除法:不变相减，即：am÷an＝（a＞0，m、n为整数）【名师提醒】：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n=（n为奇数），(-a)n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n=。【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例1（2015•遵义）如果单项式1bxy与231 2axy是同类项，那么2015ab（）．思路分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得：a-2=1，b+1=3，解方程即可求得a、b的值，再代入（a-b）2015即可求解．解：由同类项的定义可知a-2=1，解得a=3，b+1=3，解得b=2，所以（a-b）2015=1．故答案为：1．点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。跟踪训练1．（2013•苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）A．-5x2B．5x2C．-x2D．x2考点二：代数式求值例2（2015•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a-1的值为（）A．0B．1C．-1D．-2思路分析：原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵a2+2a=1，∴原式=2（a2+2a）-1=2-1=1，故选B。点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想．跟踪训练2．（2015•苏州）若a-2b=3，则9-2a+4b的值为．考点三：单项式与多项式。例3（2015•通辽）下列说法中，正确的是（）A．234x的系数是34B．23 a2的系数是32第3页（共16页）C．3ab2的系数是3aD．22 5xy的系数是25思路分析：根据单项式的概念求解．解：A、234x-的系数是34，故A错误；B、23 a2的系数是3 2，故B错误；C、3ab2的系数是3，故C错误；D、22 5xy的系数25，故D正确．故选：D．点评：本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．跟踪训练3．（2015•岳阳）单项式2312xy的次数是．考点四：幂的运算。例4（2015•海南）下列运算中，正确的是（）A．a2+a4=a6B．a6÷a3=a2C．（-a4）2=a6D．a2•a4=a6思路分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解：A、a2•a4=a6，故错误；B、a6÷a3=a3，故错误；C、（-a4）2=a8，故错误；D、正确；故选：D．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．跟踪训练4．（2015•达州）下列运算正确的是（）A．a•a2=a2B．（a2）3=a6C．a2+a3=a6D．a6÷a2=a3考点五：完全平方公式与平方差公式例5（2015•遵义）下列运算正确的是（）A．4a-a=3B．2（2a-b）=4a-bC．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a-2）=a2-4思路分析：根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．解：A、4a-a=3a，故本选项错误；B、应为2（2a-b）=4a-2b，故本选项错误；第4页（共16页）C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（a+2）（a-2）=a2-4，正确．故选：D．点评：本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．例6（2015•衡阳）已知a+b=3，a-b=-1，则a2-b2的值为．思路分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵a+b=3，a-b=-1，∴原式=（a+b）（a-b）=-3，故答案为：-3．点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．跟踪训练5．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y26．（2015•莱芜）已知m+n=3，m-n=2，则m2-n2=．考点六：整式的运算例7（2015•青岛）计算：3a3•a2-2a7÷a2=．思路分析：根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和除法，然后计算减法，即可求出算式3a3•a2-2a7÷a2的值是多少．解：3a3•a2-2a7÷a2=3a5-2a5=a5故答案为：a5．点评：（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．跟踪训练7．（2015•威海）下列运算正确的是（）A．（-3mn）2=-6m2n2B．4x4+2x4+x4=6x4C．（xy）2÷（-xy）=-xyD．（a-b）（-a-b）=a2-b28．（2015•常德）计算：b（2a+5b）+a（3a-2b）=．第5页（共16页）考点七：整式的化简求值例8（2015•包头）计算：（x+1）2-（x+2）（x-2）=．思路分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．解：原式=x2+2x+1-x2+4=2x+5．故答案为：2x+5．点评：此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．例9（2015•福建）先化简，再求值：（x-1）2+x（x+2），其中2x．思路分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解：原式=x2-2x+1+x2+2x=2x2+1，当2x时，原式=4+1=5．点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．跟踪训练9．（2015•金华）已知a+b=3，a-b=5，则代数式a2-b2的值是．10．（2015•丽水）先化简，再求值：a（a-3）+（1-a）（1+a），其中33a．考点八：规律探索。例10（2015•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）A．46B．45C．44D．43思路分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：21234m2mm，∵2n+1=2015，n=1007，∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，第6页（共16页）∵442(442) 9662，452(452)10152，∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选B．点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．例11（2015•六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几何点数1111第二层几何点数2345第三层几何点数3579……………第六层几何点数……………第n层几何点数思路分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1-1、3=2×2-1、5=2×3-1，可得第六层的几何点数是2×6-1=11，第n层的几何点数是2n-1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1-2、2=3×2-2、3=3×3-2，可得第六层的几何点数是3×6-2=16，第n层的几何点数是3n-2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，可得第六层的几何点数是4×6-3=21，第n层的几何点数是4n-3，据此解答即可．解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；第7页（共16页）∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1-1、3=2×2-1、5=2×3-1，∴第六层的几何点数是：2×6-1=11，第n层的几何点数是2n-1；∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1-2、2=3×2-2、3=3×3-2，∴第六层的几何点数是：3×6-2=16，第n层的几何点数是3n-2；前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，∴第六层的几何点