3一类含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌形成过程-2003兰州大学学报2

1一类含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌形成过程李万祥，罗冠炜（兰州交通大学机电与动力工程学院，甘肃兰州730070）摘要：通过对一组系统参数的数值仿真，研究了一类单自由度含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌的形成过程.选择碰撞界面作为Poincaré截面，通过数值计算，证明在单自由度系统中Hopf分岔的存在性.分岔与混沌行为的研究为工业实际中机械系统的优化设计提供理论依据.关键词：间隙；周期运动；分岔；混沌中图分类号：O332文献标识码：A0前言在工业生产中，机械设备由于使用过程中产生的磨损以及制造、加工和安装时出现的误差会导致间隙的出现；有些机械设备由于考虑到润滑和热胀冷缩等因素，设计时就要求预留间隙；另外，像齿轮、连杆、滚动轴承等系统的有关零部件中,不可避免地也存在间隙.由于间隙的存在，接触状态会发生变化，导致构件之间出现接触、脱离、再接触、再脱离的重复冲击，对动载荷和系统的动态特性产生不良影响，有时后果还非常严重.当然，有些冲击机械和装置是利用碰撞振动达到预期工作目的的,如振动压路机、振动夯土机、冲击震动落砂机和浇灌混凝土时的振动捣实等.因此，对于含间隙机械系统和冲击振动系统而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义.一些根本问题的解决，将不仅推动非线性学科的发展，同时为工程设计提供全新的准则.因此，近年来含间隙系统的研究已引起国内外学者的普遍关注.碰撞振动问题的研究在理论上提出了一系列新的课题,形成了非线性动力学研究的一些新的分支.目前,国内外学者已开始研究碰撞振动系统和含间隙、弹性约束系统的复杂分岔(包括概周期分岔[1])与奇异性[2,3])及混沌控制问题[4].随着理论研究的日益深入,含间隙机械系统及冲击振动系统的应用研究[5,6]也正在迅速开展.2本文通过数值仿真，研究了一类由直齿圆柱齿轮系统建模得到的单自由度含间隙弹性约束系统周期运动的局部分岔及混沌的形成过程，通过选择一个碰撞界面作为Poincaré映射截面，首次证明单自由度含间隙系统中也存在Hopf分岔（内衣马克-沙克分岔）.对其周期运动及分岔特性的研究，为实际工业中含间隙机械系统和冲击振动系统的动力学优化设计提供依据.1一类单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型图1所示的系统为一类单自由度含间隙弹性约束系统，它是一种比较典型的分段线性系统，许多含间隙系统动力学的研究都最终划归为对该模型的研究.如图所示，质量为M的振子分别由刚度为1K的线性弹簧和阻尼系数为C的线性阻尼器相联接，假设振子在简谐激振力)sin(TP的作用下在光滑的水平上运动.这里取间隙的中点作为坐标原点，水平向右为正方向建立一维坐标系统.当振子位移为B(或B)时，将会与刚度为2K的弹性约束A(或D)接触，经过一定时间改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再与弹性约束A(或D)接触，如此往复.系统的运动微分方程可以表示为)sin()(122TPXKXKdTdXCdTXdM(1)式中BXBXKBXBBXBXKXK)(0)()(22(2)方程(1)和(2)的无量纲形式为txkxxxsin)(2(3)图1单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型3式中bxbxbxbbxbxxkkk)(0)()((4)在方程(3)和(4)中，“·”表示对无量纲时间t求导数，其中无量纲为12KKk，MKC12，PXKx1，1KM，MKTt1，PBKb1(5)2系统的周期运动及其Hopf分岔2.1系统周期运动的Hopf分岔对应于系统的不同参数，图1所示的冲击副可能处在三种完全不同的冲击状态：无冲击状态、单边冲击状态和双边冲击状态.无冲击状态对应（4）式中bx或bx，这时不发生冲击；单边冲击状态对应（4）式中bx或bx，这时振动位移仅在一端超过两极刚度的转折点；双边冲击状态时系统位移在两端均超过两极刚度转折点.选取图1的一组系统参数02.0，20k，0.0b.取激振频率为分岔参数，数值计算系统在[2.6,4.5]内的动态响应，当75.2时，冲击振动系统将发生Hopf分岔.通常有两种方法选择Poincaré截面:第一种为SR2,令t，),,(xxSR2,)π2mod(0；第二种为SR2，),,(xxbxSR,2.因为冲击振动系统存在由“擦边运动”所造成的奇异性，选择作为Poincaré截面不易观察冲击系统的“擦边运动”，故在本文中，用第二种方法，选择截面A建立Poincaré映射.(a)(b)4(c)(d)图2投影映射图：(a)8.2,光滑的吸引不变圈;(b)5.3,变形的吸引不变圈;(c)6.3,锁相;(d)7.3,混沌数值结果表明，当75.2时，系统具有稳定的1－1周期运动，这里用n－p表示碰撞振动系统的周期运动,n和p分别表示力周期数与碰撞次数.当75.2时，1－1周期运动失稳并分岔出概周期运动，在投影的Poincaré截面上形成一个吸引不变圈，见图2a，值得注意的是在分岔点附近的吸引不变圈具有光滑性,但随着参数的逐渐增加,吸引不变圈逐渐膨胀并且其光滑性也遭到破坏,见图2b.随着参数的进一步增加,系统的概周期运动锁相到如图2c所示的长周期多碰撞运动.参数继续增加,系统经锁相进入混沌运动，见图2d.2.2系统的局部分岔图含间隙系统一般为多参数系统，参数的变化将引起系统响应的本质变化—产生分岔现象.这里研究的单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型共有3个系统参数：、k和b.当系统参数取：02.0，20k，0.0b时，系统的局部分岔图如图3所示.5图3分岔图：02.0,20k,0.0b由图3可以看出，当较小时，系统具有稳定的1－1单周期运动.当75.2时，发生Hopf分岔，单周期运动分岔出概周期运动.随着参数的进一步增加,系统的概周期运动发生锁相.参数继续增加,系统经锁相进入混沌运动状态.3结论(1)单自由度含间隙弹性约束系统存在Hopf分岔.(2)全面分析单自由度含间隙弹性约束系统的分岔与混沌行为，选择适当的系统参数，可以避免机械系统工作在混沌状态，降低噪声，改善工作环境.参考文献1GuanweiLuo.JianhuaXie.Bifurcationandchaosinasystemwithimpacts[J].PhysicaD,2001,148:183～2002WhistonG.S.Singularitiesinvibro-impactdynamics[J].JournalofSoundandVibration,1992,152(3):427～4603HuHY.Detectionofgrazingorbitsandincidentbifurcationsofaforcedcontinuouspiecewise-linearoscillator[J].JournalofSoundandVibration,1994,187(3):485～4934HuHaiyan.Controllingchaosofaperiodicallyforcednonsmoothmechanicalsystem[J].ActaMechanicaSinica,1995,11(3):251-2585李润方,王建军.齿轮系统动力学—振动、冲击、噪声[M].北京：科学出版社,1997.(259～351)6闻邦椿,刘树英,何勍.振动机械的理论与动态设计方法[M].北京:机械工业出版社,2002.(15～255)6Hopfbifurcationandchaosofasystemwithapairofsymmetricset-upelasticstopsLiwanxiang,Luoguanwei(CollegeofMechanicalandElectricalPowerEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070)Abstract:Hopfbifurcationandchaosofaone-degree-of-freedomsystemwithapairofsymmetricset-upelasticstopsisinvestigatedbynumericalsimulations.Itisinvestigatedthattheone-degree-of-freedomsystemexistsHopfbifurcationbynumericalmethod.Itispossibletooptimizesystemparameterofpracticalsystembyinvestigationofbifurcationandchaos.Keywords:backlash;periodicmotion;bifurcation;chaos李万祥,(1972-)男，甘肃省甘谷县人，毕业于兰州交通大学机电与动力工程学院，获工学硕士学位，现任兰州交通大学机电与动力工程学院副教授.