2016年春高中数学第2章数列2.3等比数列第3课时等比数列的前n项和同步练习新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第2章数列2.3等比数列第3课时等比数列的前n项和同步练习新人教B版必修5一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510[答案]D[解析]由已知得a1＋a1q3＝18a1q＋a1q2＝12，解得q＝2或12.∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝－281－2＝29－2＝510.2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3[答案]C[解析]本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是an＝2×(52)n－4，设bn＝lgan＝lg2＋(n－4)lg52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝b1＋b82＝－3lg52＋lg2＋4lg522＝4.3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()A．－4B．－1C．0D．1[答案]B[解析]a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝42＋a－4－a＝12，-2-a3＝S3－S2＝43＋a－42－a＝48，由已知得a22＝a1a3，∴144＝48(4＋a)，∴a＝－1.4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．192[答案]B[解析]公式q3＝a5a2＝2439＝27，q＝3，a1＝a2q＝3，S4＝－341－3＝120.5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A．158或5B．3116或5C．3116D．158[答案]C[解析]显然q≠1，∴－q31－q＝1－q61－q，∴1＋q3＝9，∴q＝2，∴{1an}是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T5＝1－1251－12＝3116.6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A．81B．72C．63D．54[答案]C[解析]∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴9,18，S9－27成等比数列，∴182＝9(S9－27)，∴S9＝63.故选C．二、填空题7．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.[答案]15-3-[解析]设数列{an}的首项为a1，则S4＝a1－1241－12＝158a1，a4＝a1·(12)3＝18a1，∴S4a4＝158a118a1＝15.8．(2015·湖南理，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.[答案]3n－1[解析]∵3S1,2S2，S3成等差数列，∴2×2(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，∴a3＝3a2，∴q＝3.又∵等比数列{an}，∴an＝a1qn－1＝3n－1.三、解答题9．在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．[解析]解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an＝a1qn－1，由已知条件得a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，①a3·a5＝(a1q3)2＝64，∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝a1－q81－q＝255；当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝a1－q81－q＝85.解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得a24＝a3·a5＝64，∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.因为{an}是实数列，所以a6a4＞0，故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±a4·a6＝±16.公比q的值为q＝a5a4＝±2，当q＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，∴S8＝a1－a91－q＝255；-4-当q＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，∴S8＝a1－a91－q＝85.10．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.[解析]设{an}公比为q，由S4＝1，S8＝17，知q≠1，∴a1－q41－q＝1a1－q81－q＝17，两式相除并化简，得q4＋1＝17，即q4＝16.∴q＝±2.∴当q＝2时，a1＝115，Sn＝115－2n1－2＝115(2n－1)；当q＝－2时，a1＝－15，Sn＝－15[1－－n]1＋2＝115[(－2)n－1]．一、选择题1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B．73C．83D．3[答案]B[解析]∵S6S3＝3，∴S6＝3S3，∴S6－S3S3＝2，∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴S9－S6S3＝22，∴S9＝4S3＋S6＝7S3，∴S9S6＝7S33S3＝73，∴选B．2．等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为()-5-A．1B．－12C．1或－12D．－1或12[答案]C[解析]当q＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得a1q2＝7a1－q31－q＝21，解得q＝－12，故选C．3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A．7B．9C．63D．7或63[答案]D[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．323(1－4－n)D．323(1－2－n)[答案]C[解析]本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a5a2＝q3＝142＝18知q＝12，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝14，又a1·a2＝4×2＝8，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8[1－14n]1－14＝323(1－4－n)．二、填空题5．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.[答案]13(4n－1)-6-[解析]∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，∴公比q＝2.又∵数列{a2n}也是等比数列，首项为a21＝1，公比为q2＝4，∴a21＋a22＋…＋a2n＝－4n1－4＝13(4n－1)．6．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.[答案]－65[解析]Sn＝－4－4－4＋…＋(－1)n－1(4n－3)，∴S22＝－4×11＝－44，S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，∴S22－S11＝－65.三、解答题7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解析](1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，∴q＝1不满足题意．∴2a1－q31－q＝a1＋a1－q21－q，解得q＝－12.(2)由(1)知q＝－12，又a1－a3＝a1－a1q2＝34a1＝3，∴a1＝4.∴Sn＝4[1－－12n]1＋12＝83[1－(－12)n]．8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝72，S6＝632.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.-7-[解析](1)∵S6≠2S3，∴q≠1.∴a1－q31－q＝72a1－q61－q＝632，解得q＝2，a1＝12.∴an＝a1qn－1＝2n－2.(2)bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{bn}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋12n(n－1)×7＝－56n＋12n(n－1)×7＝72n2－1192n.