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第三部分：数学教育研究的必备观点及主要内容1.必备观点学科研究的逻辑起点学科研究的指导思想2.主要内容课程论学习论教学论（第四、五、六部分）“双向建构”“二重原理”课程与教学论教什么怎么学怎么教两种对立观点:教育学数学教育学结果：移植型的数学教育数学教学数学教学理论结果：理论定位较低，可能走入重“术”轻“学”的理论研究误区双逻辑起点：教育学数学教育学数学教学结果：形成有理论张力的数学教育学体系演绎发现问题、归纳共性、升华演绎归纳“教与学对应的原理”——皮亚杰实质：把教学的“教”建立在教学的“学”基础之上“教的理论是以学的理论与发展的理论为基础”——布鲁纳“教与数学对应的原理”——涂荣豹“数学教育不仅仅研究‘教育’，而且更要研究教育中的数学，要把教育与数学对应起来。”“数学教育中大量待研究的问题都是由许多数学本身的特点造成的。不研究数学教育问题中数学的内在因素与教育的关系，只是一味地阐述教育原理，只能使其成为空洞的说教，而无任何实际意义。这也是数学教育研究被某些学者轻视的一个原因。提出这个原理，就是要提高数学教育研究的‘数学味’，使得研究的成果对数学教学有实实在在的指导意义。”“数学自己的教育理论”什么是数学课程？“经验说”在学校教育环境中，旨在使学生获得促进其全面发展的、具有教育性的数学经验计划。“内容说”为实现数学学科教育目标而选择的数学教育内容的总和。“过程说”由师生共同参与的建构主体性数学经验的过程，是学生获得数学体验的历程。数学课程论的主要内容讨论体现数学教育目的的教学内容的问题、内容的结构及体系的建立以及课程实施与评价等问题，即在学校教育中应该传授哪些数学内容，为什么选取这些内容，怎样展示这些内容等。影响数学课程发展的因素社会因素数学因素教育心理因素数学课程改革与发展的趋势突出学生的主体性地位与现代教育技术相结合课程组织上的融合此外,还有学生的认知发展水平、数学教师的素质、历史与传统文化等因素数学学习是学生通过获得数学知识经验而引起的持久行为、能力和倾向变化的过程。数学学习具有一般学习的所有特点：以系统掌握数学知识的内容、方法、思想为主，是人类发现基础上的再发现；在教师指导下进行，按照一定的教材和规定的时间进行，为后继学习和社会实践奠定基础。数学学习也表现出明显的特殊性：1.数学学习需要提高抽象思维水平2.数学学习需要发展逻辑推理能力3.数学学习需要必要的解题练习数学学习的基本方法数学模仿学习数学操作学习数学创造性学习模仿学习就是按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。包括：数学符号的读写、学具的使用、运算步骤的顺序、解题过程的表达、数学方法的运用、学习习惯的养成等。数学操作学习指可以对数学学习效果产生强化作用的学习行为，主要形式是练习。举例两个特点：一是知识技能向新的问题情境迁移；二是在熟悉的问题情境中发现新问题。数学学习中的再创造，在于能够利用已掌握的数学知识和技能去寻找解决新问题的方法，更重要的在于能够提出和发现新问题。解决怎样想，为什么这样想的问题解决知与不知，会与不会的问题模仿是数学学习最基本的方法。简单模仿一种机械性模仿，往往不是有意义学习举例复杂模仿一般需要很强的逻辑思维能力，经常伴有“尝试—错误”的过程，是在理解实质的基础上模仿举例创造性学习的基本模式问题情境→转换→寻求解法→求得解答问题情境：创造性学习的起点转换：创造性学习关键的一步，即把问题转换成自己的语言和表述，在转换中弄清问题的实质，与已有的概念、原理、方法和问题联系起来，最终把问题转换成易于解决的或者较为熟悉的问题。寻求解法：对一系列的内部心智活动进行选择和组织的过程。由已知条件可推出哪些结论，要达到解题目标需要哪些条件，从而形成大量的产生式，选择适当的产生式构成一条解题的思想通道。举例数学学习的两个维度数学的有意义学习和数学的机械学习数学的接受学习和数学的发现学习数学学习的两个最基本类型：数学的有意义接受学习和数学的有意义发现学习学习的全部内容以定论的形式呈现给学习者，即把问题的条件、结论以及推导过程都叙述清楚，不需要学生独立发现，但要求他们积极主动地与自己认知结构中已有的相关知识建立非人为和实质性联系，使新旧知识融为一体。不把学习的主要内容提供给学生，只是提供问题或背景材料，由学生独立地发现主要内容。包括：揭示问题的隐蔽关系，发现结论和推导方法，将所提供的信息经过加工和重新组合，然后与认知结构中的适当知识联系起来。数学有意义学习的实质：数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系适当：学生认知结构中已有的、与新知识存在某种联系的知识，是新知识有意义学习的生长点或固着点。它们可以是数学知识，也可以是其他方面的知识、经验或者某种观念。非人为：联系是数学体系内部，知识与知识之间逻辑上的继承和发展的关系，是知识间的内在联系，不是人为强加上去的。实质性：透过表面形式抓住问题实质的联系数学认知结构“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。”——曹才翰数学认知结构具有学生的个性特点且按照数学知识的包摄水平、概括水平，以及抽象度的高低形成阶梯层次；学生的数学认知结构是数学新知识的加工厂，既提供加工的原料，又提供加工的方法；数学认知结构随着知识的不断深入而更加细化和融会贯通。有意义的接受学习是整个数学学习的主流方式，而发现法和探究学习则是补充性的和纠正性的策略。数学有意义学习的条件：学生必须具备数学有意义学习的心向新知识对学习者必须具有潜在意义学习者必须具有有意义学习的思维潜能数学有意义学习的基本形式与教学内容的形式相联系的学习形式：数学的表征学习数学的概念学习与“数学内容之间关系”相联系的学习形式：数学的同化学习数学的顺应学习类属关系、总括关系、并列关系新知识适应已有知识已有知识适应新知识数学的表征学习是将数学的名词、符号所代表的具体对象，在认知结构里建立起等值关系。特点：对数学名词符号所获得的表征意义只代表特殊的和单个的事物。数学的表征学习大部分是认知水平上的学习，而不像其他学科的代表学习基本上是感知水平上的。数学是抽象性很强的学科，早期进行表征学习，可以增强数学名词符号的直观性，获得有关它们的直观背景和丰富经验，有关的指代物可以成为掌握相关数学对象抽象意义的必要阶梯，为数学名词符号的抽象意义提供直观模型。举例数学的概念学习是要获得数学名词的概念意义，即掌握它们所代表的一类事物的共同的本质属性。举例特点：数学名词符号所获得的概念意义代表了一类事物的共同本质属性，在概念学习水平上，数学的名词符号代表了一类事物，在代表学习水平上，数学的名词符号只代表单个或特殊的事物。在数学学习中仅仅达到表征学习水平上的有意义的学习是不够的，必须达到概念学习水平上的有意义学习才是真正获得了数学对象的意义，才是真正的数学有意义学习。同化：把给定的东西整合到一个早先就存在的结构之中。数学的同化学习：当新的数学内容输入以后，主体并不是消极地接受它们，而是利用已有的数学认知结构对新知识内容进行改造，使新内容纳入到原有的数学认知结构中。举例在同化的过程中，主要是辨识新旧知识的联系，并由原有的旧知识作为生长点或固着点，把新知识归属于原认知结构，同时使原认知结构得到分化和扩充。学习用配方法解一元二次方程由平行线概念→平行线性质定理的学习由三角形全等概念→三角形全等性质定理的学习由直线的点斜式、截距式、两点式……→直线一般形式的学习由抛物线、椭圆、双曲线→二次曲线统一定义的学习由直线的截距式→斜截式→两点式→点斜式的学习当数学新知识在原有的数学认知结构中没有密切联系的适当知识，此时要对原有认知结构进行改组，使之与新知识内容相适应，从而把它纳入进去，这一过程叫作数学的顺应学习。举例初一学生学习代数由整数→分数→有理数→实数→复数的学习过程由平行线、相交线→异面直线的学习过程由整式→分式→根式的学习过程由整数指数幂运算→有理数指数幂运算的学习过程