3数科院2008毕业论文模板

PINGDINGSHANUNIVERSITY毕业论文(设计)题目:院(系):专业年级:姓名:学号:指导教师:2008年月日平顶山学院本科毕业论文（设计）1(空一行,小四)nm矩阵的广义迹(空一行,小四)XXX(数学与信息科学学院2004级X班)指导教师XXX教授(空一行,小四)摘要:本文首先讨论了nn矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性．然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般nm矩阵的广义迹的概念,它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质．最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证．关键词:矩阵，广义迹，分块矩阵，带余除法(空一行,小四)GeneralizedtracesofnmmatricesWANGXiu-ying(Class1,Grade2002,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:ProfessorCAOHuai-xin(空一行,小四)Abstract:Inthispaper,aseriesofimportantpropertiesoftheusualtraceofnnmatricesaregiven,including:additivity,homogeneousness,transpose-invariance,commutativeinvariance,andtheuniquenessoftheusualtraceisalsoproved.Next,byusingblock-decompositionofannmmatrixandthedivisionalgorithm,theconceptofgeneralizedtraceofamatrixisintroduced．Someimportantpropertiesofthisgeneralizedtracearegiven.Finally,someexamplesaregiveninordertoillustratetheconcept,computationandpropertiesofthegeneralizedtrace.Keywords:matrix，generalizedtrace，block-matrix，divisionalgorithmnm矩阵的迹2(空一行,小四)矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是n阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个n行n列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和niiiaA1)(tr,其中)(FMAnn,iia为方阵A对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3],文献[10,11,13]．文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形．文献[5-7]中,研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．特别地,文献[5]给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式kkkABBA)(tr)tr(对nk2及任二正的迹类算子A与B成立．同时还证明了当nk2时,对任一迹类算子A,不等式kkkAAAA)(tr)tr(也成立．文献[6]将JanR.Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的Hölder不等式的方法,同时得到关于算子迹的Hölder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明．文献[8,9]中，定义了在C*-代数)(AMn上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射AAMn)(:：)()*(AAuu))((),(AMUuAMAnn,22))(()(AA)0(A,给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果A是可交换的C*-代数，则映射是)(AMn上的矩阵迹当且仅当A中存在一个元素（20）使得)(tr)(AA))(][(AMaAnij,其中niiiaA1)(tr．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地nm矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质．(空一行,小四)1．预备知识1.1矩阵的迹及其性质在本文中，假定)(FMnm为数域F上全体nm矩阵之集（特别的)(FMnn为数域F上全体n阶矩阵之集）,则关于矩阵的运算,)(FMnm为数域F上向量空间，N表示所有自然数之集，))((FMAAnm表示矩阵A的转置矩阵．平顶山学院本科毕业论文（设计）3定义1.1.11设)()(FMaAnnij,则称A的所有主对角线元素之和为A的迹,记为Atr，即niiiaA1tr．矩阵迹有下列基本性质(其中A,B为n阶矩阵):定理1.1.1设)(,FMBAnn,则(1)niiniiiaA11tr,其中i为A的特征值;(2)BABAtrtr)(tr;(3)AkkAtr)(tr，Nk;(4)AAtrtr;(5))tr()(trBAAB;(6)若A和B为两个相似的方阵,则BAtrtr,即相似矩阵有相同的迹．证明(1)设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211,则按照[2]中的定理知:A的特征方程是0AI.在nnnnnnnnaaaaaaaaAI111111111001的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积nnaaa2211．展开式中其余各项,至多包含2n个主对角线上的元素,它对的次数最多是2n．因此,特征多项式中含的n次与1n次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是12211nnnnaaaAE．在特征多项式中令0,即得常数项:AAn)1(．因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有AaaaAEnnnnn112211．由根与系数的关系可知,A的全体特征值的和)tr(11Aaniiinii．(2)设nm矩阵的迹4nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211，假定)(),(,ijnmcCFMCBAC,则BAbabacCBAniiiniiiniiiiiniiitrtr)(tr)(tr1111．(3)设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，则有AkakkakAniiiniiitr)(tr11．(4)设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211,则nnnnnnaaaaaaaaaA212221212111．因此有AaAniiitrtr1．(5)设)(,,,FMDCBAnn,nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211;nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211,假定)(),(,,ijijdDCCBADABC,则平顶山学院本科毕业论文（设计）5ninkkiikniiibaCAB111)(tr,ninkkiikniiiabDBA111)(tr．由求和的交换性即可证得:)(tr)(trBAAB．(6)由于相似矩阵有相同的特征多项式2,特征多项式相同则特征值相同,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)相同．因此根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的和,则这两个矩阵的迹相同(即BAtrtr)．证毕.下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.定理1.1.2设A和B分别为mn,nm矩阵,则)(tr)(trBAAB．证明令mnijaA)(为mn矩阵,nmijbB)(为nm矩阵,设nnijcABC)(，mmijdBAD)(,其中),2,1,(1njibacmkkjikij,),,2,1,(1mjiabdnkkjikij.所以nimkkiiknimkkiikniiibabacAB11111)tr(,nimkkiiknkmiikkiminkkiikmiiibabaabdBA1111111)tr(,从而)(tr)(trBAAB．通过以上的讨论,我们可知若定义数域F上n阶矩阵集合到F的一个迹映射f,则具有以上的诸多性质．定理1.1.3那么若定义FFMfn)(:是一个映射,而且满足下列条件:(1)对任意的n阶矩阵A,B,)()()(BfAfBAf;(2)对任意的n阶矩阵A,和F中数k,)()(AkfkAf;(3)对任意的n阶矩阵A,B,)()(BAfABf;(4)nIfn)(,则)(tr)(AAf对一切F上的n阶矩阵A成立.nm矩阵的迹6证明设ijE为n阶基础矩阵,因为nIfn)(,所以由条件1)和条件4)知:nEfEfEfEEEfIfnnnnn)()()()()(22112211．又由条件3)知:)()()()(jjijjijiijiiEfEEfEEfEf，所以1)(iiEf．另一方面,若ji,jiijEEE11,则0)0()()()(1111fEEfEEfEfjijiij,得0)(nIf,与条件4)矛盾．若)(ijaA,则由上知)(tr)()()(1,,AaEfaEafAfniiiijnjiijnjiijij．1.2广义矩阵的分块用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵3．一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定．1.2.1矩阵分块的原则①必须使分块后的矩阵的运算可行．②必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便.例1.2.1考虑矩阵110000005400000200000010000001A．根据它自身的特点,我们可以将A如虚线所示的那样分块,若记10011A,54022A,113A,则平顶山学院本科毕业论文（设计）7321000000AAAA．矩阵A除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵．设565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbB为了进行运算BA，我们对B的分块必须与A的分块完全一致，即如图中虚线所示．使A与B的各对应子块都是同型的．设46ijcC，为使AC的运算可行，C的分块必须参照A的分块来进行，即A的列分与C的行分一致，而C的列分，则可视C的具体情况来定，不受A的分法的影响．如下所示：646362615453525144434241343332312423222114131211ccccccc