3未校正的初始数学模型

(水箱中水的质量在任何时间都是：2.1A1是水箱的横截面，p是水的密度，H是水箱中水的高度。在下面的计算中，下标是1的表示输入量，下标是2的表示输出量，对公式2.1求m对时间的微分HAm1水箱中水的质量的变化等于流入水箱中的水减去流出水箱中的水2211VAQHAm2.2其中Q1是稳定流入的水流量，v2是流出速度，A2是出水口的横截面，V2也是水箱高度的函数，所以我们有gHV222.3把2.3带入到2.2解出H得到：11121]2[QAHgAAH2.4使用方程2.3，我们得到输出水流量是：HAgVAQ)2(22222.5为了使方程更加简单，我们定义：gAAk2121121Ak232Agk然后我们有：HkQ32121QkHkH2.6方程2.6是我们的水箱系统的模型，输入是Q1，输出是Q2，方程2.6是一个非线性一阶常微分方程，非线性是因为有H1/2，方程2.6可以写成函数形式：),,(1QHfH),(12QHhQ，其中:1211),(QkHkQHfHkQHh31),()线性化当水箱系统达到了平衡时，有：0H，我们分别定义Q*是平衡状态下的水流量，H*是给定的水位。关于这两者的关系是：*2**221HAgHkkQ2.7这种情况是在有足够的水进去水箱A1，以此来弥补从A2流出去的水。所以我们可以写出H和Q1的关系：HHH*2.811*QQQH和Q是在平衡状态下的小误差量，泰勒级数在平衡状态下展开为：*)(|*)(|*)*,(),(1**1**111QQQfHHHfQHfQHfHQQHHQQHH式2.9我们知道：HH[fromEq.(2.8)]0*)*,(QHf忽略泰勒级数的高次项，有：111221]*[QAHQAgAH2.10式2.10就是线性化的方程，H和1Q都是稳态下的偏差量。同理，对于输出变量Q2，我们有：1**1**12*2211||*)*,(),(QQhHHhQHhQHhQQQQQHHQQHH式2.112Q是输出的偏移量，对于输出变量Q2的线性化方程是：HQAgQ]*[22222.12传递函数模型对式2.12求关于时间的导数，带入到2.10有：112221222*]*[QQAgAQQAAgQ如果定义：*122QAgA2.13我们有：122QQQ2.14求拉氏变换（在零初始条件下），得到传递函数为：ssQsQ)(/)(122.15微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到了传递函数，传递函数就是在零初始条件下定义的。式2.15描述了输出2Q（S）随着输入1Q(S)的变化，同理，我们也可以得到H（s）和1Q(s)的变化关系。对式2.10进行拉式变化（零初始条件下）sksQsH21)(/)(2.16）解析解分析方程2.14给出了水箱系统的线性时变模型，我们用阶跃和正弦做输入来得到解，记着输入1Q(s)其实是随着给定值Q*的变化。阶跃输入：让sqsQ/)(01其中q0是阶跃输入的大小，最初的状态是0)0(2Q，然后通过方程2.15的传递函数我们可以得到：)()(02ssqsQ部分分式展开后，反拉氏变换后得到：002)(qeqtQt我们可以看到在稳态条件下，再平衡点处输出的偏差量等于在平衡点的输入量的偏差。通过检验方程2.13的变量Ω，我们发现输出口的横截面积A2越大，系统就越快达到稳态。换句话说，Ω越大，指数项te就下降的越快，就越容易达到稳态。同样地，对于水位H我们有：)11()(20sskqsH反拉氏变换我们可以得到：)1()(20tekqsH水位的稳态变化量取决于q0值：20kqHss正弦输入：让输入：tqtQsin)(01相应的有：2201)(sqsQ假设系统是在零初始状况下，也就是说0)0(2Q，从方程2。15我们可以得到：))(()(2202ssqsQ部分分式展开后，反拉氏变换后得到：))()sin()(()(2/1222202teqtQt其中)/(tan1，所以t，所以我们有：)sin()(2202tqtQ输出量的最大值是：220max2|)(|qtQ2.17）