2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练13

课件园推理与证明、算法初步、复数(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i解析∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝52－i＋2i＝5（2＋i）（2－i）（2＋i）＋2i＝5（2＋i）5＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.答案A2．(2014·福建卷)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z－等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i解析∵z＝2＋3i，∴z－＝2－3i，故选C.答案C3．(2015·北京西城区模拟)在复平面内，复数z＝(1＋2i)(1－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，所以复数z＝3＋i对应点为(3，1)在第一象限，选A.答案A4．(2015·华师附中模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大课件园°”．答案B5．(2014·江西卷)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()A．7B．9C．10D．11解析i＝1，S＝0，第1次运行，S＝0＋lg13＝－lg3＞－1；第2次运行，i＝3，S＝lg13＋lg35＝lg15＝－lg5＞－1；第3次运行，i＝5，S＝lg15＋lg57＝lg17＝－lg7＞－1；第4次运行；i＝7，S＝lg17＋lg79＝lg19＝－lg9＞－1；第5次运行，i＝9，S＝lg19＋lg911＝lg111＝－lg11＜－1，终止循环，输出i＝9.答案B6．(2015·青岛检测)对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案D课件园(2014·四川卷)执行如图的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0B．1C．2D．3解析本程序框图的功能是当x，y满足约束条件x≥0，y≥0，x＋y≤1时，求目标函数S＝2x＋y的最大值，如图所示，目标函数在点(1，0)处取得最大值2，故选C.答案C8．(2015·湖北黄冈一模)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则()A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－12＜a＜32D．－32＜a＜12解析(x－a)⊗(x＋a)＜1⇔(x－a)(1－x－a)＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0.不等式恒成立的充要条件是Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0.解得－12＜a＜32.故选C.答案C9．将正奇数1，3，5，7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()课件园．第一列B．第二列C．第三列D．第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案D10．已知数列{an}的各项分别为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为()A.3724B.76C.1115D.715解析通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99＝78，a100＝69.故a99＋a100＝3724.故选A.答案A二、填空题11．(2014·四川卷)复数2－2i1＋i＝________．解析2－2i1＋i＝2（1－i）22＝(1－i)2＝－2i.答案－2i12．(2014·辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________．课件园解析第一步：i＝1，S＝1，T＝1；第二步：i＝2，S＝3，T＝4；第三步：i＝3，S＝6，T＝10；第四步：i＝4，S＝10，T＝20，此时停止循环，∴输出T＝20.答案2013．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为___________________________________________．解析观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n（n＋1）2.答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n（n＋1）2课件园．在平面几何中有如下结论：若正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝________．解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V1V2＝127.答案12715．(2014·湖北卷)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．解析设组成数a的三个数字是m，n，p，其中1≤m＜n＜p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即数b的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位数字就是9，设a的另两个数字是x，y，其中1≤y＜x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y＝100y＋90＋x，则801＝199y＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.答案495三、解答题16．用分析法证明：若a＞0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明∵a＞0，由基本不等式知a＋1a≥2，a2＋1a2≥2，∴a2＋1a2－2≥0，a＋1a－2≥0.下面用分析法证明a2＋1a2－2≥a＋1a－2.课件园＋1a2－2≥a＋1a－2成立，只需证明a2＋1a2－22≥a＋1a－22，即2a＋1a－2≥2·a2＋1a2，即4a＋1a－12≥2a2＋1a2，即a＋1a2－4a＋1a＋4≥0，即证明a＋1a－22≥0，显然a＋1a－22≥0成立，∴若a＞0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.17．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：1a是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明1ac.证明(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，∴x2＝1a1a≠c，∴1a是f(x)＝0的一个根．即1a是函数f(x)的一个零点．(2)由(1)知1a≠c，所以假设1ac，又1a0，由0xc时，f(x)0，知f1a0与f1a＝0矛盾，∴1ac.18．已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．课件园解∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1，∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增．于是由a1≥1得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1，即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n，∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－(12)n1.19．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心；(2)计算f12013＋f22013＋f32013＋f42013＋…＋f20122013.解(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝12.课件园12＝13×123－12×122＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为12，1.(2)由(1)，知函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为12，1，所以f12＋x＋f12－x＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.故f12013＋f20122013＝2，f22013＋f20112013＝2，f32013＋f20102013＝2，…f20122013＋f12013＝2.所以f12013＋f22013＋f32013＋f42013＋…＋f20122013＝12×2×2012＝2012.