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课件园讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能解析由1a2＋b21，得a2＋b21，∴点P在圆外．答案B2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP＝31－2＝－3，所以所求切线的斜率为33.故切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案D3．(2015·甘肃诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切解析由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆课件园圆心之间的距离为|O1O2|＝12＋22＝5，因为|2－1|＝1＜5＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.答案C4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝12，b＝－4B．k＝－12，b＝4C．k＝12，b＝4D．k＝－12，b＝－4解析因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝12，b＝－4.答案A5．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC．(6－25)πD.54π解析由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝45.所以圆C面积的最小值为π252＝45π.故选A.答案A二、填空题6．(2015·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．解析圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距课件园＝122＋（－1）2＝55，故弦长为2r2－d2＝21－15＝455.答案4557．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______．解析由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l1的距离为22，即|a|2＝22，则a2＝1.同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.答案28．(2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a＋a－2|a2＋1＝3，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±15.答案4±15三、解答题9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．法一(1)证明由y＝kx＋1，（x－1）2＋（y＋1）2＝12，消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|课件园＝28－4k＋11k21＋k2＝211－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27.法二(1)证明圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝|k＋2|1＋k2，圆C的半径R＝23，R2－d2＝12－k2＋4k＋41＋k2＝11k2－4k＋81＋k2，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×80，故11k2－4k＋80对k∈R恒成立，所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解由平面几何知识，知|AB|＝2R2－d2＝28－4k＋11k21＋k2，下同法一．法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝523＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.10．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切课件园线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2＋（2a－3）2≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围是0，125.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62B.32C.94D．23解析由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤94，即ab的最大值是94(当且仅当a＝b时取等号)，故选C.答案C课件园．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案C13．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析法一当x0＝0时，M(0，1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(－1，0)或N(1，0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，∴－1≤x0＜0或0＜x0≤1.综上，－1≤x0≤1.法二过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin45°≤1，∴OM≤1sin45°，∴OM2≤2，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1.答案[－1，1]课件园．(2015·淮安一模)已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．(2)若a＝2，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．解(1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝±3.当a＝3时，点M为(1，3)，kOM＝3，k切＝－33，此时切线方程为y－3＝－33(x－1)．即x＋3y－4＝0，当a＝－3时，点M为(1，－3)，kOM＝－3，k切＝33.此时切线方程为y＋3＝33(x－1)．即x－3y－4＝0.所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0或x－3y－4＝0.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d21＋d22＝OM2＝3.又有|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，所以|AC|＋|BD|＝24－d21＋24－d22.则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d21＋4－d22＋24－d21·4－d22)＝4×[5＋216－4（d21＋d22）＋d21d22]＝4×(5＋24＋d21d22)．因为2d1d2≤d21＋d22＝3，所以d21d22≤94，当且仅当d1＝d2＝62时取等号，所以4＋d21d22≤52，课件园所以(|AC|＋|BD|)2≤4×5＋2×52＝40.所以|AC|＋|BD|≤210，即|AC|＋|BD|的最大值为210.