3矩阵基础

资料考点大提纲请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材.注：以下涉及到1A等矩阵的逆时，该矩阵满足可逆条件。基本掌握：1.矩阵的基本运算.(加、减、数乘、矩阵相乘,注意：矩阵乘法没有交换律，所以区别矩阵表达式变形和一般表达式的区别.例如：abbaba2222,BAABBABA222后者为矩阵)2.矩阵的相关的特殊矩阵的定义和性质：转置、逆矩阵、伴随矩阵、分块。3.一些特殊矩阵的定义(零矩阵、单位阵、数量阵、对角阵、上(下)三角阵、对称阵、反对称阵)4.方阵的幂常规考点1.矩阵基本运算的考点:矩阵基本运算基本上是贯穿整个线代，所以基本运算必须熟练掌握,如果要针对考察,一般是在a).数乘矩阵和数乘行列式的区别.b)矩阵乘法的交换性c)含未知数矩阵方程的求解(这个实质也就是对基本运算的考察，不过题型难的话，只会告诉你含参矩阵的一些性质和关系，让你自己去构造方程)2.转置矩阵的考点：1.0,ijBAABT.若有：0TAA则有0A2.转置矩阵和原矩阵的对称性：TAA是对称矩阵，TAA是反对称矩阵3.转置后的一些性质：行列式的值不变、转置可逆、4.转置的一些运算：)()(TTTBABA、TTTABAB)(、TTTTTTTTTTIFCHEBGDAIHGFEDCBA3.逆矩阵的考点：1.逆矩阵的条件：a).必须为方阵，b)对应行列式的值不能为02.逆矩阵的运算：111)(ABAB、EAA1(这个看似简单运用最广最活)3.特殊矩阵的逆：一、二阶矩阵、对角阵、1110000BABA、0000111ABBA4.矩阵逆的求法：a).AAA*1b).1,,AEEA初等行变换(初等变换概念请查阅教材)5.求抽象矩阵的逆：求某个矩阵多项式的逆(比如02EAA,求1EA)这类题通过配方法：EEAEAEEAA323226.在矩阵的化简过程中，有时候利用)0(1AEAA将E展开为某矩阵乘积形式可以方便提公因式因式分解.7.矩阵可逆的判别：行列式不等于0。4.伴随矩阵的考点：1.定义：nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa212221212111*2122221112112.伴随矩阵的运算：***ABAB.1**1AA3.伴随矩阵的性质：EAAA*、1*nnnnnAA4.经常考察的是利用1*AAA这个公式对A逆和A伴随的一个转换来化简。基础矩阵题目总结：①求参类：题目中的矩阵元素中含有参数，题目中再告诉你一些矩阵满足的关系或者性质，求出参数范围或者准确的值.。这类题一般是直接用算式运算体现出题目告诉你的关系和性质，然后通过化简可以得到参数的方程或者不等式。例：aaa111111=0求a的值.解析2)1)(2(111111aaaaa所以a=-2或者1.②求矩阵类：题目中告诉你矩阵的关系或者性质、更或者是满足的一个矩阵方程。让你求出矩阵。这类题分两种常规方法：1.根据题目条件列出式子用其他已知矩阵表示出目标矩阵，然后通过计算得到。2.待定参数出目标矩阵的元素。然后列等式得到所有参数满足的方程。最后就是解线性方程组。例：02EAA,求1EA.解析：EEAEAEEAA32322③判断矩阵性质类：这种题目一般就是判断矩阵的满足的一些性质。方法无他，就是利用题目給出的条件相关的一些恒等变形来验证。如果是选择题也可以直接反代选项，然后通过举反例来排除错误答案。例：设A、B均为n阶矩阵，下面叙述正确的是（）A.若A、B均可逆,则A+B可逆.B.若A、B均可逆,则AB可逆.C.若A、B均可逆,则A-B可逆.D.若A+B可逆,则A、B均可逆解析：反代答案，枚举反例，这题轻松应对。.④求矩阵幂：这种题型一般就是求nA，一般有两种方法：一种是消去法：通过题目条件和问题看矩阵A能不能化成T(为列向量也就是n×1型矩阵)或者1。如果可以化成这类的。那么相邻两项部分就可以化为一个常数或者直接消去。第二中方法是：求出矩阵A的前几次幂然后找规律。例：111111111A，求nA.TA111111解析：又因为3T，所以.nA=TTTTT=Tn13=An13⑤求行列式的值类：这类题一般给出一个矩阵的行列式的值。求结矩阵表达式或者一个分块矩阵的行列式的值。这类问题我们一般利用这几个公式：BAAB、AA11、1*nnnnnAA、EAAA*、nnnnnAkkA这5个公式加上行列式求值的性质通过题目给出的信息相应的变形可以求出最后结果。例：已知A为二阶方阵、B为三阶防震。且2BA,求020*BABABABA3**22020=32.大致的矩阵基础题型就是这样，大家还是要把性质等基础掌握牢固才能灵活运用，才能见招拆招！！