3第四章逻辑函数及其化简

逻辑代数基础2.1概述逻辑代数的特点一、1.属于二值逻辑的范畴，有两个特征值0和1一对互为相反的状态信号有无开关开关命题真假电压高低信号有无原变量A反变量A记为1记为0VL(min)VL(max)VH(max)VH(min)100波形High1Low0Unacceptable2.只有三种基本运算：“与”、“或”、“非”2.2逻辑代数中的三种基本运算定义：若A,B为两个逻辑变量，由A,B组成的逻辑函数F＝f(A,B)只有当且仅当A,B同时为1时，函数F为1，否则为0。ABF000010100111真值表F＝f(A,B)F＝A•B逻辑函数表达式EFAB举例开关：闭合为1,打开为0灯：亮为1,熄灭为0与运算也称逻辑积、或称与逻辑。•F=AANDB•=A&B=A·B=AB与门&应用&计数器AB1s与运算逻辑符号：定义：若A,B为两个逻辑变量，由A,B组成的逻辑函数F＝f(A,B)在A或B任一变量为1，或同时为1时，函数F为1，否则为0。ABF011000110111真值表F＝f(A,B)F＝A+B逻辑函数式举例开关：闭合为1,打开为0灯：亮为1,熄灭为0EFAB或运算也称逻辑和、或称或逻辑。或门≥1+或门逻辑符号：定义：若A为逻辑变量，由A组成的逻辑函数F＝f(A)在A为1时，F为0；A为0时，F为1。AF1001真值表F＝f(A)逻辑函数式举例开关：闭合为1,打开为0灯：亮为1,熄灭为0F＝AEFARF=非门1RRRDC112CVVCCCL-VBBAF(+12V)(+3V)(-12V)实现非运算的电路叫做非门或反相器非门逻辑符号：实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。1、与非逻辑与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。◇与非逻辑表达式：BAF◇与非门逻辑符号：能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。&ABFABFABF◇与非门真值表：AB00011011ABF有0为1,全1为0与非门运算顺序是：先与后非即：当输入A、B中，只要有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。BAF1110◇工作波形图：F或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门。ABFABFABF≥1+◇或非逻辑表达式：BAF◇或非门逻辑符号：◇或非门真值表：AB00011011BAF或非门运算顺序是：先或后非1000有1为0,全0为1即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时，输出才是1。ABF◇或非门工作波形与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。&&ABCDF1ABCDF+ABCDFABCDF00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110ABCDF◇逻辑符号：◇与或非门真值表：◇工作波形图：◇逻辑表达式：CDABF每组有0为1,某组全1为0。ABF220VA,B为两个单刀双掷开关。灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0真值表：ABF000011101110◇由真值表写出逻辑表达式：★取F=1,列与项逻辑式。★对任何一种输入变量组合，变量之间是“与”运算。★如果输入变量是“1”,记原变量。如果输入变量是“0”,记反变量。★各组合之间是“或”逻辑关系。BABABAF异或运算特点：相异为1，相同为0◇异或逻辑符号：=1ABF异或逻辑基本运算规律：00=011=010=01=1推论：◇异或门工作波形图：ABF1AA0AAAA0AA1BABA⊕ABF220V假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。ABF001010100111ABBAF☆同或运算特点：相同为1,相异为0。ABF=1◇同或逻辑符号：同或逻辑和异或逻辑互为反函数。◇同或逻辑真值表◇同或逻辑表达式⊙BA⊙BABA⊙BABA⊙2.3逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理1、逻辑函数间的相等设有两个逻辑函数F=f(A1A2---An)G=g(A1A2---An)看出：F和G都是变量A1A2---An的逻辑函数。如果:2n种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。CBAC,B,AFCAABC,B,AGCBA例：设证明F=G证：(1)、列出F和G的真值表CAAB0000000011001111从真值表中可以看出：每一种组合F和G都相等，所以F=G。即：F和G是同一逻辑的两种不同表达式。ABC0000010100111001011101111≥1CBACBAFCAABG(2)、实现F和G的逻辑电路图≥11ABC两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。CCBBACCA将运算符号变为逻辑符号交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A0－1率A+1=1,A+O=AA·0=0,A·1=A互补率重叠率A+A=AA·A=A非非率反演率包含率1AAAABABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0AA（1）、代入规则任何一个含变量A的等式中，如果将出现A的地方，都代之一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例1：分配率A(B+C)=AB+AC令：C=EF代入公式A(B+EF)=AB+AEF证:A(B+EF)=AB+AEF用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：令：A=CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确：是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值(0,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。☆有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。（2）、反演规则：（摩根定理）目的：求原函数的反函数已知函数为F，将F中的所有“·”换为“＋”，“＋”换为“·”，0换为1，1换为0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出DCBAF)(CDBAF由反演率得2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。本例说明：1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。CDBADCBA)(例2:已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演规则直接写出注意：不属于单个变量上的反号保持不变。（3）、对偶规则：对偶式：已知函数为F，将F中的所有“·”换为“＋”，“＋”换为“·”，0换为1，1换为0，变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式F′。例：CBAFCBAF')1)((CABAF0'CABAFCBAFCBAF'F求首先了解什么是对偶式；对偶规则：如果两个函数F和G相等，那么它们各自的对偶式F′和G′也相等。例：F=A(B+C)由乘对加的分配率知：F´=A+BC由加对乘的分配率知:G´=(A+B)(A+C)G=AB+ACF=A(B+C)=AB+AC∴F=G∴F´=G´F´=A+BC=(A+B)(A+C)掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：ABABA1BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和两个因子。说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（)，则该乘积项中的是多余的。吸收律：对偶式：对偶式：AABCAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：推论：项是多余的。可消去积项，则第三个乘积余因子组成第三个乘而这两个乘积项的其两个因子，和包含若两个乘积项中分别AA对偶式：BCAABCCAAB证：BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB0BAACCABAA+BC=(A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC=A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换率：对偶式：加对乘的分配率：对偶式：2.5逻辑函数及其表示方法常用逻辑函数表示方法有：1、逻辑真值表2、逻辑表达式3、逻辑电路图各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为1,奇为0)，试写出它的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011110000110BCACBACAB解：当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY4、工作波形图通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1、找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合。2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。3、将取值为1的乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。ABC000001010011100101110111CBCBAY解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111&&≥1111≥1三、从逻辑表达式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。例：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCABCCBACBCBACCBACBA≥1≥1≥111ABY四、从逻辑图写出逻辑表达式从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY))((BABABABABACAABF))((CABACAAB与或式与非－与非式或与式)()(CABA或非－或非式CABA与