3线性方程组典型习题解析

3线性方程组3.1知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1基本概念1、方程组1111221n12112222n2m11m22mnmxxbxxbxxbaaaaaaaaa称为含n个未知量m个方程的线性方程组，i)倘若12mb,b,....,b不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组；ii)若12mb=b==b0，则该线性方程组就是齐次线性方程组，这时，我们也把该方程组称为1111221n12112222n2m11m22mnmxxxxxxaaaaaaaaaccc的导出组，（其中12mc,c,...c不全为零）2、记11111221nmxbxb,x,bxbnmmnaaAaa=则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式xbA3、又若记1j2jjmj,j1,2,naaa则上述方程游客一写成向量形式1122nnxxxb.。同时，为了方便，我们记(,b)AA，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2线性方程组解的判断1、齐次线性方程组x0A=，（n=线性方程组中未知量的个数对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，当rnA=秩()=时，有唯一零解；ii)当rnA=秩()时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r.2、非齐次线性方程组xbA=()()()=()=n,()=()()=()n,n().()()AAAAAAAAAAA秩秩无解；秩秩有唯一解，秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为-秩秩秩不可能3.1.3线性方程组的解空间1、齐次线性方程组的解空间（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为Adim(W)=n-秩()=n-r，其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组[(*)--ii)]有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于An-秩()。2、非齐次线性方程组的解空间我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解0（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为12n-r，，...），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：2.................()kkk0112n-rn-r++...+我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2经典题型解析1、已知方程组12312112323120xaxax无解，试求a的取值解：方程组的增广矩阵12112323120Aaa（初等行变换不影响线性方程组的解）12110110231aa进行一系列的初等行变换121101100(3)(1)3aaaa由于方程组无解(3)(1)03AAAaaa秩()秩(),秩()3或1ai)当3a时，AA秩()=2=秩()，方程组又无穷多解；ii)当1a时，AA秩()=23=秩()，方程组无解综上可得，1a易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻的理解与领悟。2、设A为n阶方阵，r(A)=n-3，且231，，是0Ax的三个线性无关的解向量，则下面哪个是0Ax的基础解系()2233,.11(A)，2323,,.11(B)23231,,.211(C)223323,,2.11(D)解：由0Axr(A)=n-3的基础解系个数为nr(A)=n-(n-3)=3又因为231，，是0Ax的解，所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，现在我们利用矩阵这里工具来进行求解：22332323101,1100111111(，)=(，，)(，，)A23232323101,,1100111111()=(，，)(，，)B232323231011,,210210121111(2)=(，，)(，，)C233232323101,,21101121111()=(，，)(，，)D因为：20,0ABCD所以，向量组2233,11，线性无关，而其余三个都是线性相关的，故选A。评析：本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！3、设12,,,s是齐次线性方程组0AX的一个基础解系。而1112221223121,,,sstttttt，其中t1，t2是实数，问当t1，t2满足什么关系时，12,,,s也是方程组0AX的基础解系？解：显然，12,,,s为0AX的解，下证在12,,,s线性无关时，t1，t2应满足的关系。设11220sskkk11122212231112121()()()()0ssssskttkttkttktt11211221212313()()()0ssktktktktktkt由123,,,线性无关知1122112211000ssstkkttktktktk由于12,,,s线性无关，此方程组只有零解，即12211122121000000(1)000000ssstttttttttt故当112(1)0ssstt时，即s为偶数时，12tt，s为奇数时，12tt，这时12,,,s为0AX的一个基础解系。4、设齐次线性方程组121212(1)02(2)20()0nnnaxxxxaxxnxnxnax，)2(n，试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其解。解：方法一对系数矩阵进行初等行变换BanaaaaaaannnnaaaA000030021111333322221111（1）若0a，1)(AR，方程组有非零解，其同解方程为021nxxx故其基础解系为T0,,0,1,11，T0,,0,1,0,12，…11,0,,0,1Tn所以方程组的通解为112211nnkkk（11,,nkk为任意常数）（2）若0a，对矩阵B继续作初等行变换，有10001030012000)1(21100010300121111nnnanaB当)1(21nna时，nnAR1)(，方程组有非零解，其同解方程为0030213121nxnxxxxx得基础解系为Tn,,2,1所以通解为k（k为任意常数）方法二由于系数行列式12)1(222111nannaannnaaA故当0a或2)1(nna时，方程组有非零解。（1）当0a时，有000000111222111nnnA故方程组的同解方程为021nxxx由此行基础解系为T)0,,1,1(1，T)0,,1,0,1(2，…，Tn)1,,0,1(1通解为112211nnkkk（11,,nkk为任意常数）（2）当)1(21nna时，对系数矩阵进行初等行变换，有anaaaaannnaaA0021112221111001200010012111nna故方程组的同解方程为0030213121nxnxxxxx可得基础解系为Tn),,2,1(，故通解为k（k为任意常数）5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间2342342343524377942.xxxxxxxxx111x，-2x，-x解：第一步，求解方程组的特解。为此，先求出它的一般解公式，4117105551352473121317015551794200000进行一系列初等行变换所以，方程组的一般解为342344117,555731,555xxxxxx1（其中34xx，都是自由变量）由式可以推出方程组的一特解：01751.500第二步，求导出组的一个基础解系。由于原非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。3423441,5573,55xxxxxx1（其中34xx，都是自由变量）从而得到导出组的一个基础解系2417350051，第三步，写出非齐次线性方程组的解空间012212,UkkkkK1评析：本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤，作为线性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。6、已知向量1231241150132411=，=，，是方程组11233441,12234421223443ax2xaxaxd4xbx3xbxd,3xcx5xcxd.的三个解，求该方程组的解。解：即方程组的系数矩阵为A，则i)由已知条件知：2131-，时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量由422rArA-()()又系数矩阵A有二阶子式4311035系数矩阵A的秩r(A)2因此，由*）与**）r2A()=ii)由i)齐次线性方程组基础解系由2(4-r422)A()=-=个解向量构成，即2131-，是齐次线性方程组的一基础解系所以，该线性方程组得通解为：1121231+kk).(-)+(易错提示：按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不通的；而倘若我们对