2016考研数学复习之微分方程(二)

12016考研数学复习之微分方程（二）来源:文都教育在《2016考研数学复习之微分方程（一）》中，文都考研数学老师总结了一阶常微分方程常考类型及解题方法，本篇接着来总结可降阶类型的做题方法，这一部分是本章的重点也是难点。可降阶的高阶微分方程及其解法1．方程)()(xfyn解法：这个方程的特点是它的右端不含未知函数y及其1至n-1阶导数，用逐次求不定积分的方法可求得方程的通解.方程)()(xfyn可改为.)()1(dxxfdyn将上式两边分别求积分，得n-1阶微分方程1)1()(Cdxxfyn再按同样的方法积分n-1次，即可得所求方程的通解.2．方程),('''yxfy解法：这个方程的特点是它的右端不显含y，令py'，则dxdpy''，代入方程),('''yxfy，其化为一阶微分方程),(pxfdxdp解此一阶微分方程，可求得其通解，设它为),(1Cxp，因py'，于是原方程的通解为21),(CdxCxy.3.方程),('''yyfy解法：方程),('''yyfy的特点是方程右端不显含自变量x，令),('ypy则''dpdydpypdydxdy，2代入原方程得关于,yp的一阶微分方程).,(pyfdydpp设此方程的通解为),(1Cyp，即),(1Cydxdy，在分离变量后，便可求得原方程得通解.4．高阶线性微分方程（1）基本概念(n)(n1)(n2)121(x)()()()0nnyayaxyaxyaxy（4.1）为n阶齐次线性微分方程．(n)(n1)(n2)121(x)()()()()nnyayaxyaxyaxyfx（4.2）为n阶非齐次线性微分方程．若12()()()fxfxfx，则（4.2）可分解为如下两个方程：(n)(n1)(n2)1211(x)()()()()nnyayaxyaxyaxyfx（4.3）(n)(n1)(n2)1212(x)()()()()nnyayaxyaxyaxyfx（4.4）（2）解的性质和结构①若12(),(),,()sxxx为齐次线性微分方程（4.1）的一组解，则1122()()()sskxkxkx也是（4.1）的解．②若12(),(),,()sxxx为非齐次线性微分方程（4.2）的一组解，则1'：1122()()()sskxkxkx为（4.1）的解120skkk．1：1122()()()sskxkxkx为（4.2）的解121skkk．③设12(),()xx分别为（4.1）和（4.2）的解，则12()()xx为（4.2）的解．3④设12(),()xx为（4.2）的解，则12()()xx为（4.1）的解．⑤设12(),()xx分别为（4.3）和（4.4）的解，则12()()xx为（4.2）的解．⑥设12(),(),,()nxxx为n阶齐次线性微分方程（4.1）的n个线性无关的解，则（4.1）的通解为1122()()()nnkxkxkx（12,,,nkkk为任意常数）．⑦设12(),(),,()nxxx为n阶齐次线性微分方程（4.1）的n个线性无关的解，0()x为（4.2）的一个特解，则（4.2）的通解为01122()()()()nnxkxkxkx（12,,,nkkk为任意常数）．（3）高阶常系数微分方程的解法①二阶常系数齐次线性微分方程及解法方程形式：'+0ypyqy（其中,pq为常数）．特征方程：20pq．通解形式：（24pq）0时，20pq有两个不同的根12,，则1212xxyCeCe（2,1CC为任意常数）；0时，20pq有两个相同的根12，则112()xyCCxe（2,1CC为任意常数）；0时，20pq的根为虚根i，则12(coscos)axyeCxCx（2,1CC为任意常数）．②三阶常系数齐次线性微分方程及解法方程形式：'''+'0ypyqyry（其中,pq为常数）．4特征方程：320pqr．通解形式：若特征值123,,为实单根，则通解为312123xxxyCeCeCe；若特征值123为实单根，则通解为31123()xxyCCxeCe；若特征值123为实单根，则通解为12123()xyCCxCxe；若1,23,iR，则通解为3123(cossin)xxyeCxCxCe．③二阶常系数非齐次线性微分方程及解法方程形式：'+()ypyqyfx．通解：齐次的通解+其一个特解，其中特解的求法分两类．类型一：()()kxnfxePx，其中()nPx为n次多项式．1'：当k不是特征根时，令特解*01()()()nkxkxnnyxaaxaxeQxe．1''：当k是单特征根时，令特解*01()()()nkxkxnnyxxaaxaxexQxe．1'''：当k是二重特征根时，令特解*2201()()()nkxkxnnyxxaaxaxexQxe．类型二：()[()cos()sin]xmsfxePxxPxx，其中(),()msPxPx分别为,ms次多项式．1'：当i不是特征值时，令特解*()(()cos()sin)xnnyxeQxxRxx．1''：当i是特征值时，令特解*()(()cos()sin)xnnyxxeQxxRxx．其中max{,}nms，且(),()nnQxRx为两个n次多项式．本章复习其实比较简单，因为针对每一种常微分方程，都有一套系统的解题步骤，5我们要做的只是把这几种类型记住即可。希望以上内容对大家与所帮助。