4-2实际问题的函数建模.

第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1实际问题的函数建模§2灵璧一中裴恒永201610第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1知能目标解读1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学方法解决实际问题的意识．2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1重点难点点拨重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题．难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学模型．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1知能自主梳理第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修12．常见函数模型第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1答案]1.数学建模2．kx＋bk≠0kxk≠0ax2＋bx＋c第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1思路方法技巧第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1二次函数模型应用[例2]某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[分析](1)月租金增加时，未租出的车辆数也随之增加，只需求出现在有多少辆车未租出，就可求出能租出多少辆车．(2)公司的月收益＝租出的车辆数×(租金－租出车辆的维护费)－未租出的车辆数×未租出的车辆维护费．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.∴这时租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝100－x－300050(x－150)－x－300050×50.第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1∴f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.∴当x＝4050时，f(x)最大，最大月收益为307050元．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结](1)思维方法是依月收入来建立函数解析式，同时要活用配方法．本题主要考查应用函数知识解答实际问题的能力．这恰恰体现了“以能力立意”的命题指导思想．应用题型正是近几年的高考热点和重点题型．(2)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：销售单价(元)6789101112日销售量(桶)480440400360320280240第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？[分析]解答本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[解析]设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480－40(x－1)＝520－40x0，所以0x13，则利润y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－40(x－132)2＋1490，其中0x13.所以当x＝6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元.第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1()Pft例3、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式()Qgt；（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：210kg元，时间单位：天）0200300t100300P0tQ50150250300100150250第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:100300,0200()2300,200300ttfttt由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:21()(150)100,0300200gttt第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1(2)设时刻的纯收益为,则由题意得即t()ht()()(),htftgt22171025,200300211175,020020002()2022ttttttht200300t时,配方整理得,所以当时,取得上的最大值当0200t时,配方整理得21()(50)100,200htt所以当50t时,()ht取得[0,200]上的最大值100;当21()(350)100200htt300t()ht(200,300]87.5综上,由可知,在上可以取得最大值100,此时=50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.10087.5()ht[0,300]t第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修11.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图像写出一件事。①我离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学②我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间③我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速ABC0离家距离时间0离家距离时间0时间离家距离离家距离0时间D梁启超纪念中学余理甜(D)(A)(B)c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修12.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元梁启超纪念中学余理甜CA第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1指数函数型模型的应用[例3]医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1天数t病毒细胞总数N11223448516632第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)[分析]根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函数为y＝2t－1.则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋xlg2≤8，得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结]随着新课标的逐渐铺开(如计算器的广泛使用)，以往对于指数运算的困难便已不再是困难．换句话说，指数函数的应用型问题将可以堂而皇之地进入到各级各类考试中．就本题而言，难度并不大，在读懂题意的基础上，只需要最基本的归纳推理能力和观察能力，便能发现病毒细胞个数关于时间的函数关系式，在此基础上问题的解决只是计算上的问题了．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1对于A年成材的树木，在此期间的年生长率为a%，以后的年生长率则为b%(ab)，树木成材后，即可以出售树木，重新栽新苗，也可以让其继续生长．(1)哪一种方案可获得较大的木材量？(2)对于5年成材的树木，哪种方案可获得较大的木材量？第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)只需考虑2A年的情形，设新树苗的木材量为Q，则2A年后有两种结果：①连续长2A年，木材量N＝Q(1＋a%)A(1＋b%)A；②生长A年后，出售再重栽，木材量M＝2Q(1＋a%)A.因为MN＝21＋b%A，所以当(1＋b%)A2时，用重栽的方案较好；当(1＋b%)A2时，用连续生长的方案较好．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1(2)当A＝5时，则5lg(1＋b%)＝lg2，解得b≈14.9.因此，对于5年成材的树木，当5年后的生长率低于14.9%时，应考虑重栽；当5年后的生长率高于14.9%时，应考虑用连续生长的方案.第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1对数函数模型的应用[例4]2003年10月15日，我国的“长征”二号F型火箭成功发射了“神舟”五号载人飞船，这标志着中国人民在航天事业上又迈出了历史性的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m和燃料的质量x之和．在不考虑空气阻力的情况下，假设火箭的最大飞行速度y关于x的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2(k≠0)．当燃料质量为(e－1)mt时，该火箭的最大飞行速度为4km/s.第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1(1)求“长征”二号F型火箭的最大飞行速度y(km/s)与燃料质量x(t)之间的函数关系式y＝f(x)；(2)已知“长征”二号F型火箭的起飞质量是479.8t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1t)才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道上？[分析]根据题意直接求解．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)当x＝(e－1)m时，y＝4.即4＝k{ln[m＋(e－1)m]－ln(2m)}＋4ln2，则k＝8.因此，所求函数关系式为y＝8[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2.(2)设应装载xt燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道上．则8＝8{ln479.8－ln[2(479.8－x)]}＋4ln2，解得x≈303.3.即应装载约303.3t燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道上．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结]本题第(1)问是通过已知条件求出函数的解析式；第(2)问是利用函数的解析式解决实际问题．在这两个问题的解答中都用到了方程的思想．注意m的取值，需用火箭的起飞质量减去燃料的质量．第四章·§2成才之路·数学·北师大版·必修120世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，