4-4参数方程高中复习资料经典题型

用心专心只要你努力一定会有收获！1第一节坐标系[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.[归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究]1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.[探究]2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ0,0≤θ2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程．2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．3．在极坐标系中，求点A2，π2关于直线l∶ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标．用心专心只要你努力一定会有收获！24．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，求AB的长．5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，求该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离．伸缩变换的应用[例1]求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．若椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x′216＋y′24＝1，求满足的伸缩的变换．———————————————————求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx，y′＝μy的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y后得到的曲线方程为y′＝lg(x′＋5)，求曲线C的方程．极坐标与直角坐标的互化[例2]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．———————————————————极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P的极坐标．3．求以点A(2,0)为圆心，且过点B23，π6的圆的极坐标方程．用心专心只要你努力一定会有收获！3极坐标系的综合问题[例3]从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．———————————————————求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，求曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标．5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离．1个互化——极坐标与直角坐标的互化(1)互化的三个前提条件①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲易误警示——极坐标系中的解题误区[典例](2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值．[易误辨析](1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程．(2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．[变式训练]已知两曲线的极坐标方程C1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C2：ρ＝4cosθ，求两曲线交点的直角坐标．用心专心只要你努力一定会有收获！41．已知直线的极坐标方程ρsinθ＋π4＝22，求极点到直线的距离．2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．3．(2012·江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．4．已知圆M的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．1．设直线l1的参数方程为x＝1＋t，y＝a＋3t，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0，若直线l1与l2间的距离为10，求实数a的值．2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．3．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB的最小值．4．在极坐标系中，圆C的圆心C6，π6，半径r＝6.(1)写出圆C的极坐标方程；(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ∶QP＝3∶2，求动点P的轨迹方程．用心专心只要你努力一定会有收获！5第二节参数方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程的互化，热点是参数方程、极坐标方程的综合性问题，难度较小，主要考查转化和化归的思想方法，如2012年新课标T23等.[归纳·知识整合]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y都可以表示为某个变量t的函数：x＝ft，y＝gt反过来，对于t的每个允许值，由函数式x＝ft，y＝gt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝ft，y＝gt叫做这条曲线C的参数方程，变量t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[探究]1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．2．直线的参数方程经过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)．4．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．[探究]2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么？提示：如图，取椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任一点M作x轴垂线，交以原点为圆心，a为半径的圆于点A，φ就是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(或点M的离心角)即Ox绕O逆时针转到与OA重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．[自测·牛刀小试]1．若直线l的参数方程为x＝1＋3t，y＝2－4t(t为参数)，求直线l倾斜角的余弦值．.2．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，求|PF|.3．(2012·中山模拟)将参数方程x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)化成普通方程．4．求参数方程x＝t＋1t，y＝2(t为参数)表示的曲线．5．求椭圆x－123＋y＋225＝1的参数方程．参数方程与普通方程的互化[例1]将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2，(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ.———————————————————将参数方程化为普通方程的方法用心专心只要你努力一定会有收获！6(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)；(2)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2(t为参数)．[例2](2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，