2016高中数学人教A版必修5同步练习1.2应用举例第1课时zyjy

少年智则中国智，少年强则中国强。-1-第一章1.2应用举例第1课时一、选择题1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°[答案]D[解析]根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．3akmC．2akmD．2akm[答案]B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5nmlieB．53nmlieC．10nmlieD．103nmlie[答案]C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(nmlie/h)．少年智则中国智，少年强则中国强。-2-4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A．500mB．600mC．700mD．800m[答案]C[解析]根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490000，∴AB＝700(m)．5．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10kmB．3kmC．105kmD．107km[答案]D[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107，即A、C两地的距离为107km.6．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河宽为(精确到1m)()A．170mB．98mC．95mD．86m[答案]C少年智则中国智，少年强则中国强。-3-[解析]在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝120sin45°sin60°＝406.设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，∴h＝BC·sin∠CBA＝406×sin75°≈95(m)二、填空题7．如图所示，为了测量河的宽度BC，最适宜测量的两个数据是________．[答案]AC与∠A．[解析]由图可知，AB与BC不能直接测量．8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)[答案]5.2[解析]作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×1560＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理6sin35°＝BSsin30°，可得BS≈5.2(km)．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)少年智则中国智，少年强则中国强。-4-[分析]由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝CD·sin45°sin60°＝63CD．在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝CD·sin30°sin135°＝22CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝426CD＝100042(m)．10．一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析]在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝ABsin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(nmile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(nmile)．∵h6.5nmile，∴此船可以继续沿正北方向航行.一、选择题1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A、B两船的距离为()A．23kmB．32kmC．15kmD．13km[答案]D[解析]如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，少年智则中国智，少年强则中国强。-5-AC＝2，BC＝3，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，∴AB＝13.2．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是()A．7kmB．13kmC．19kmD．10－33km[答案]B[解析]由题意知AM＝8×1560＝2，BN＝12×1560＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN＝13km.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．1762nmile/hB．346nmile/hC．1722nmile/hD．342nmile/h[答案]A[解析]如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，少年智则中国智，少年强则中国强。-6-∴MN＝68×3222＝346，∴v＝MN4＝1762(nmile/h)．4．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行12h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10kmB．102kmC．15kmD．152km[答案]B[解析]在△ABC中，BC＝40×12＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝BC·sin∠ABCsinA＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90nmile.此时海盗船距观测站107nmile,20min后测得海盗船距观测站20nmlie，再过________min，海盗船到达商船．[答案]403[解析]如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD×CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min)．少年智则中国智，少年强则中国强。-7-6.如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42nmile，则此船的航行速度是________nmile/h.[答案]16[解析]在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠ASB＝45°，∵BS＝42，BSsinA＝ABsin∠ASB，∴AB＝BS·sin∠ASBsinA＝42×2212＝8，∵上午在A地，在B地，∴航行0.5小时的路程为8nmile，∴此船的航速为16nmile/h.三、解答题7．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83nmile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解析]由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.由正弦定理，得AD＝ABsin45°sin60°＝24(nmile)(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD＝83(nmile)答：A处与D处之间距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为83nmile.少年智则中国智，少年强则中国强。-8-8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．[解析]由题意可得DE2＝502＋1202＝1302，DF2＝1702＋302＝29800，EF2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos∠DEF＝1665.