2016高考数学二轮复习微专题强化练习题20概率

第一部分一20一、选择题1．(文)(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为()A．0.4B．0.6C．0.8D．1[答案]B[解析]5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝610＝0.6，故选B．(理)(2015·太原市一模)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中抽取一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A．15B．16C．56D．3536[答案]C[解析]记甲、乙各摸一次得的编号为(x，y)，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P＝1－636＝56.[方法点拨]1.用古典概型概率计算公式P＝mn求概率，必须先判断事件的等可能性．2．当某事件含有的基本事件情况比较复杂，分类较多时，可考虑用对立事件概率公式求解．3．要熟练掌握列举基本事件的方法，当古典概型与其他知识结合在一起考查时，要先依据其他知识点的要求求出所有可能的事件及基本事件数，再计算．2．(文)若不等式组y≤x，y≥－x，2x－y－3≤0.表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为()A．π12B．π8C．π6D．π3[答案]A[解析]如图，不等式组表示的平面区域M为△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3，区域N在M中的部分面积为π4，∴所求概率P＝π43＝π12.(理)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为()A．2e2B．2eC．2e3D．1e2[答案]A[解析]∵S阴＝201(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2，S正方形＝e2，∴P＝2e2.[方法点拨]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的测度的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．几何概型与其他知识结合命题，应先依据所给条件转化为几何概型，求出区域的几何测度，再代入公式求解．3．(文)在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于24cm2的概率为()A．16B．13C．23D．45[答案]D[解析]设线段AC的长为xcm，其中0x10，则线段CB的长为(10－x)cm，那么矩形的面积为x(10－x)cm2，由x(10－x)24，解得x4或x6.又0x10，所以0x4或6x10，故该矩形面积小于24cm2的概率为4＋410＝45，故选D．(理)在区间[1,6]上随机取一实数x，使得2x∈[2,4]的概率为()A．16B．15C．13D．25[答案]B[解析]由2x∈[2,4]知1≤x≤2，∴P(2x∈[2,4])＝2－16－1＝15.4．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为()A．112B．16C．124D．14[答案]B[解析]甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙．因此所求概率为P＝424＝16.(理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为()A．151B．1408C．1306D．168[答案]D[解析]设选出的三人编号为a－3，a，a＋3，则a－3≥1a＋3≤8，∴4≤a≤15，共12种，从18人中选3人有C318种选法，∴P＝12C318＝168.5．(文)扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是()A．310B．15C．25D．12[答案]A[解析]所有的扇形共10个，其中面积为π8的扇形共有3个，故所求概率为P＝310.(理)(2015·太原二模)已知实数a，b满足0≤a≤4，0≤b≤4，x1，x2是关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0x11x2成立的概率是()A．332B．316C．532D．916[答案]A[解析]设f(x)＝x2－2x＋b－a＋3，∵方程f(x)＝0的两实根x1，x2满足0x11x2，∴f00，f10，∴b－a＋30，b－a＋20，作出0≤a≤4，0≤b≤4，表示的平面为正方形OABC，其中满足b－a＋30，b－a＋20，的部分如图中阴影部分所示，阴影部分的面积S1＝12×2×2－12×1×1＝32，正方形的面积S＝4×4＝16，故所求概率P＝S1S＝332.[易错分析]本题易发生两个错误：一是不能对方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两根x1，x2满足0x11x2正确地进行转化；二是无法合理地求解几何概型的测度．事实上，对于几何概型的问题，关键是对测度的正确求解．纠错的方法有：①加强对几何概型测度的理解与求解；②平时注意积累解决几何概型的方法，如长度法、面积法、体积法等．6．(文)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，将其向上一面的数字记作m，则函数f(x)＝x3＋mx在(－∞，－23)上单调的概率为()A．34B．13C．12D．23[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋m，当m≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当m0时，令f′(x)＝0得，x＝±－m3，∴f(x)在(－∞，－－m3)上单调增加，∵332363，∴－63－23－33，∴当m＝－1时，f(x)在(－∞，－23)上单调递增，∴所求概率P＝46＝23.(理)(2014·东北三省三校一模)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a、b、c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A．16B．524C．13D．724[答案]C[解析]解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A＝“该数为凹数”，则A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，∴P(A)＝824＝13.解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝26＝13.7．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10.5,14.5)2[14.5,18.5)4[18.5,22.5)9[22.5,26.5)18[26.5,30.5)11[30.5,34.5)12[34.5,38.5)8[38.5,42.5)2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是()A．16B．13C．12D．23[答案]B[解析]由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是2266＝13，选B．8．(文)(2014·陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．45[答案]C[解析]如图，基本事件共有C25＝10个，小于正方形边长的事件有OA，OB，OC，OD共4个，∴P＝1－410＝35.(理)从x2m－y2n＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A．12B．47C．23D．34[答案]B[解析]当m，n∈{－1,2,3}时，x2m－y2n＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x轴上的双曲线方程有4个，(m，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为47，选B．二、填空题9．(文)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________．[答案]15[解析]从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P＝315＝15.(理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60°角的概率为________．[答案]811[解析]六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C212＝66种不同的取法．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16×6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有12×96＝48对，∴所求概率P＝4866＝811.[方法点拨]解答概率与其他知识交汇的问题，要通过审题，将所要解决的问题转化为相应的概率模型，然后按相应公式计算概率，转化时要特别注意保持等价．10．(文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．[答案]π4[解析]考查了几何概型．总面积2×1＝2.半圆面积12×π×12＝π2.∴p＝π22＝π4.(理)(2015·呼和浩特第二次调研)在区间(0，π2)上任取一个数x，使得tanx∫π20cosxdx成立的概率是________．[答案]12[解析]求出定积分后结合三角函数的图象解不等式．因为∫π20cosxdx＝sinx|π20＝1，所以原不等式即为tanx1，x∈(0，π2)，解得0xπ4，故所求概率为π4π2＝12.[易错分析]考生不能正确计算定积分，或者不能正确解简单的三角不等式，都会导致几何概型计算错误，所以几何概型问题，正确运算是关键．三、解答题11．(文)(2015·太原市一模)为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂a名工人某天的产量(单位：件)，整理后得到如下的频率分布直方图(产量的分组区间分别为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35])，其中产量在[20,25)的工人有6名．(1)求这一天产量不小于25的工人人数；(2)工厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一分组的概率．[解析](1)由题意得，产量为[20,25)的频率为0.06×5＝0.3，∴n＝60.3＝20，∴这一天产量不小于25的工人人数为(0.05＋0.03)×5×20＝8.(2)由题意得，产量在[10,15)的工人人数为20×0.02×5＝2，记他们分别是A，B，产量在[15,20)的工人人数为20×0.04×5＝4，记他们为a，b，c，d，则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种不同的结果，其中2位工人不在同一分组的结果为(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共有8种，