2016高考数学二轮复习微专题强化练习题26函数与方程的思想分类讨论的思想

第一部分二26一、选择题1．(文)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为()A．1B．0C．－1D．－2[答案]A[解析]m＝x－1－x，令t＝1－x≥0，则x＝1－t2，∴m＝1－t2－t＝－(t＋12)2＋54≤1，故选A．(理)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．1x3B．x1或x3C．1x2D．x2或x2[答案]B[解析]将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.当a∈[－1,1]时恒有g(a)0，只需满足条件g10，g－10，即x2－3x＋20，x2－5x＋60，解之得x1或x3.[方法点拨]1.函数与方程的关系函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．2．应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解．(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决．2．(文)(2014·哈三中二模)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(3)(4)[答案]C[解析]爬行路线为时正视图为(2)；爬行路线是时，正视图为(4)，故选C．[方法点拨]若几何图形的位置不确定时，常常要对各种不同情况加以讨论．(理)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是()A．(0，6＋2)B．(1,22)C．(6－2，6＋2)D．(0,22)[答案]A[解析]若构成三棱锥有两种情形．一种情形是三条长为2的线段围成三角形作为棱锥的底面，过BC的中点M作与BC垂直的平面α，在平面α内，以A为圆心AP＝2为半径画圆，点P在此圆周上，且不在平面ABC内时，构成三棱锥P－ABC，此时PB＝PC＝a，易求得6－2a6＋2.另一种情形如图：AB＝AC＝BD＝DC＝2，AD＝BC＝a，此时24－a24a，∴0a22，又∵6＋2226－2，取两者的并集得，0a6＋2.[方法点拨]1.分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类．2．分类讨论的步骤：(1)确定分类讨论的对象和分类标准；(2)合理分类，逐类讨论；(3)归纳总结，得出结论．3．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引发的分类讨论：如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数、一次、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、复数的概念、三角函数的定义域．(2)由性质、定理、公式、法则的限制条件引起的分类讨论，如等比数列前n项和公式、不等式的一些性质、函数的单调性、根式的性质．(3)由数学运算引起的分类，如除数不为0，偶次方根的被开方数非负，对数函数的底数a0且a≠1，指数运算中对底数的限制，不等式两边同乘以一个正数(负数)，排列组合中的分类计数．(4)由图形的不确定性引起的讨论，如图形的类型、位置，角的终边所在象限、点线面位置等，点斜式(斜截式)直线方程适用范围，直线与圆锥曲线的位置关系．(5)由参数的变化引起的分类讨论：含参数的问题(方程、不等式、函数等)，由于参数的不同取值会导致结果不同或不同的参数求解、证明的方法不同等．(6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论．3．(文)圆锥曲线y28＋x2a＋7＝1的离心率e＝12，则a的值为()A．－1B．113C．－1或113D．以上均不正确[答案]C[解析]因焦点在x轴上和y轴上的不同，离心率e关于a的表达式发生变化，故需分类．当焦点在x轴上时，e2＝a＋7－8a＋7＝14，解得a＝113；当焦点在y轴上时，e2＝8－a＋78＝14，解得a＝－1.故选C．(理)将1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中，a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，a5＝5)，则满足a1a2，a2a3，a3a4，a4a5的排列个数是()A．10B．12C．14D．16[答案]D[解析]∵a3a2，a3a4，∴a3只能从1,2,3中取，故可按a3的取值情况分类讨论(或利用a2a1，a2a3入手讨论)，(1)当a3＝3时，a2，a4只能是4,5，共有A22·A22种；(2)当a3＝2时，a2，a4可以为3,4,5，∵a5a4，a1a2，故5只能排在a2或a4位置，和5相邻的可从剩下3个中任选一个，余下两个，只有一种排法，∴共有A12A13种；(3)当a3＝1时，从剩下4个元素中选两个排在a1，a2位置，只有一种排法，余下两个排在a4，a5位置也只有一种排法，∴有C24种．综上知，共有A22A22＋A12·A13＋C24＝16种．4．若a1，则双曲线x2a2－y2a＋12＝1的离心率e的取值范围是()A．(1，2)B．(2，5)C．[2，5]D．(3，5)[答案]B[解析]e2＝(ca)2＝a2＋a＋12a2＝1＋(1＋1a)2，因为当a1时，01a1，所以2e25，即2e5.5．如图所示，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()[答案]D[解析]当0x≤2时，f(x)＝12·x·12x＝14x2，是开口向上的抛物线，且f(2)＝1；当2x≤3时，f(x)＝12×2×1＋12(x－2)(3－x＋1)＝－12x2＋3x－3.是开口向下，以(3，32)为顶点的抛物线．当x3时，f(x)是确定的常数，图象为直线．二、填空题6．如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设AP→＝αAB→＋βAF→(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[答案][3,4][解析]建立如图所示的直角坐标系，设正六边形边长为2，则C(2,0)，A(－1，－3)，B(1，－3)，D(1，3)，E(－1，3)，F(－2,0)，设P(x，y)可得AP→＝(x＋1，y＋3)，AB→＝(2,0)，AF→＝(－1，3)，∵AP→＝αAB→＋βAF→，∴x＋1＝2α－β，y＋3＝3β，则α＋β＝x＋1＋3y＋32＝12x＋32y＋2，当点P在如图阴影部分所示的平面区域内时，可作平行直线系12x＋32y＋2＝z，当直线过点E或C时，α＋β取得最小值，(α＋β)最小值＝12×2＋32×0＋2＝3；当直线过点D时，α＋β取得最大值，(α＋β)最大值＝12×1＋32×3＋2＝4，则α＋β的取值范围是[3,4]．[方法点拨]和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数关系的方法加以解决，引进空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．(5)(理)函数f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题．7．(文)若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________．[分析]将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时，－cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．[答案]－3，32[解析]原方程可化为m＝－cos2x＋2cosx.令f(x)＝－cos2x＋2cosx，则f(x)＝－2cos2x＋1＋2cosx＝－2cosx－122＋32，由于－1≤cosx≤1，所以当cosx＝12时，f(x)取得最大值32，当cosx＝－1时，f(x)取得最小值－3，故函数f(x)的值域为－3，32，即m∈－3，32.[方法点拨]本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围．(理)如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，则a的取值范围是________．[答案](－1,1][分析]可分离变量为a＝－cos2x＋sinx，转化为确定的相关函数的值域．[解析]解法1：把方程变为a＝－cos2x＋sinx.设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，π2])．显然当且仅当a∈f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋12)2－54，且由x∈(0，π2]知，sinx∈(0,1]．∴f(x)的值域为(－1,1]，∴a的取值范围是(－1,1]．解法2：令t＝sinx，由x∈(0，π2]可得t∈(0,1]．把原方程变为t2＋t－1－a＝0，依题意，该方程在(0,1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－12，在区间(0,1]的左侧，如下图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解，当且仅当f00f1≥0，即－1－a01－a≥0，∴－1a≤1，故a的取值范围是(－1,1]．[方法点拨]最值、方程有解、恒成立与参数的取值范围问题此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．8．直线y＝kx＋2和椭圆x24＋y23＝1在y轴左侧部分交于A、B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．[答案][－63，0)[分析]将直线与椭圆方程联立消去y，得关于x的二次方程，则直线与椭圆在y轴左侧部分交于A、B两点，转化为方程有两个负根的问题．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．由y＝kx＋2，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.(*)因为直线y＝kx＋2和椭圆x24＋y23＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以Δ＝16k2－4×43＋4k20，x1＋x2＝－16k3＋4k20，x1x2＝43＋4k20，解得k12.因为M是线段AB的中点，所以x0＝x1＋x22＝－8k3＋4k2，y0＝y1＋y22＝kx1＋x2＋42＝63＋4k2.因为P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以63＋4k2＋2－8k3＋4k2＝0－－2a－0，所以2a＝12＋8k2－8k，即－4a＝2k＋3k.因为k12，所以2k＋3k≥26，当且仅当k＝62时等号成立，所以－4a≥26，则－63≤a0.三、解答题9．(文)设函数f(x)＝lnx－p(x－1)，p∈R.(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)对任意x≥1都有g(x)