2016高考数学二轮复习微专题强化练习题27转化与化归思想数形结合思想

第一部分二27一、选择题1．已知f(x)＝2x，则函数y＝f(|x－1|)的图象为()[答案]D[解析]法一：f(|x－1|)＝2|x－1|.当x＝0时，y＝2.可排除A、C．当x＝－1时，y＝4.可排除B．法二：y＝2x→y＝2|x|→y＝2|x－1|，经过图象的对称、平移可得到所求．[方法点拨]1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质；③能用数形结合的思想以图辅助解题．2．作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．3．利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y＝f(x)――→h0，右移|h|个单位h0，左移|h|个单位y＝f(x－h)，y＝f(x)――→k0，上移|k|个单位k0，下移|k|个单位y＝f(x)＋k.②伸缩变换：y＝f(x)错误!y＝f(ωx)，y＝f(x)――→0A1，纵坐标缩短到原来的A倍A1，纵坐标伸长到原来的A倍y＝Af(x)．③对称变换：y＝f(x)――→关于x轴对称y＝－f(x)，y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)，y＝f(x)――→关于直线x＝a对称y＝f(2a－x)，y＝f(x)――→关于原点对称y＝－f(－x)．2．(文)(2014·哈三中二模)对实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a，a－b≤1b，a－b1，设函数f(x)＝(x2＋1)*(x＋2)，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(2,4]∪(5，＋∞)B．(1,2]∪(4,5]C．(－∞，1)∪(4,5]D．[1,2][答案]B[解析]由a*b的定义知，当x2＋1－(x＋2)＝x2－x－1≤1时，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1；当x－1或x2时，f(x)＝x＋2，∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴方程f(x)－c＝0恰有两不同实根，即y＝c与y＝x2＋1－1≤x≤2，x＋2x－1或x2，的图象恰有两个交点，数形结合易得1c≤2或4c≤5.[方法点拨]关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点：①分离参数，将参数的取值范围转化为求函数的值域；②数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论；③构造函数，借助于导数来研究．(理)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是()A．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3)[答案]B[分析]由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等式f(x)·cosx0可等价转化为fx0cosx0或fx0cosx0，结合图形可得出解集．[解析]不等式f(x)cosx0等价于fx0，cosx0，或fx0，cosx0.画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)．3．(文)已知an＝32n－11，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是()A．an与Sn都有最大值B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值D．an与Sn都没有最小值[答案]C[解析]画出an＝32n－11的图象，点(n，an)为函数y＝32x－11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大(理)(2015·安徽理，9)函数f(x)＝ax＋bx＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0[答案]C[解析]考查函数的图象与应用．由f(x)＝ax＋bx＋c2及图象可知，x≠－c，－c0，则c0；当x＝0时，f(0)＝bc20，所以b0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－ba0，所以a0.故a0，b0，c0，选C．[方法点拨]1.给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩、对称变换，结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两图象的交点等)作出判断．2．由函数图象求解析式或求解析式中的参数值(或取值范围)时，应注意观察图象的单调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断．3．数形结合的途径(1)通过坐标系“形”题“数”解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．在高考中主要以解析几何作为知识载体来考查．值得强调的是，“形”“题”“数”解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)通过转化构造“数”题“形”解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c0且b＋ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线对应，将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．4．(文)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5B．7C．9D．10[答案]C[分析]由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)为周期函数，结合f(x)在[－1,1]上的解析式可画出f(x)的图象，方程f(x)＝lgx的解的个数就是函数y＝f(x)与y＝lgx的图象的交点个数．[解析]由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．由方程f(x)＝lgx知x∈(0,10]时方程有解，画出两函数y＝f(x)与y＝lgx的图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．[方法点拨]数形结合在函数、方程、不等式中的应用(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的解题思路，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．(理)已知m、n是三次函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx(a、b∈R)的两个极值点，且m∈(0,1)，n∈(1,2)，则b＋3a＋2的取值范围是()A．(－∞，25)∪(1，＋∞)B．(25，1)C．(－4,3)D．(－∞，－4)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知f′00，f′10，f′20，∴b0，a＋2b＋10，a＋b＋20.(*)b＋3a＋2表示不等式组(*)表示的平面区域内的点与点(－2，－3)连线的斜率，由图形易知选D．5．(文)直线x＋3y－m＝0与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A．1m2B．3m3C．1m3D．3m2[答案]D[分析]动直线x＋3y－m＝0是一族平行直线，直线与圆在第一象限内有两个不同交点，可通过画图观察找出临界点，求出m的取值范围．[解析]直线斜率为定值k＝－33.如图，平移直线到过点A(0,1)时，m＝3，到相切时，|m|2＝1，∴m＝2，∴3m2.(理)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A．[1－22，1＋22]B．[1－2，3]C．[－1,1＋22]D．[1－22，3][答案]D[解析]本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查数形结合思想的应用．曲线y＝3－4x－x2对应的图象如图所示，为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，若直线y＝x＋b与此半圆相切，则可得2＝|2－3＋b|2，解得b＝1－22，当且仅当b∈[1－22，3]时，直线与半圆有公共点，故应选D．[点评]对于曲线y＝3－4x－x2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[方法点拨]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典范．6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心[答案]B[分析]因为AB→|AB→|是AB→的单位向量，故λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)对应向量若以A为起点，则终点在∠BAC的平分线上，结合OP→－OA→＝AP→可知点P的轨迹．[解析]如图所示，易知AP→＝λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)，而AB→|AB→|与AC→|AC→|是单位向量，故点P在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹通过△ABC的内心，应选B．[方法点拨]数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7．(文)已知点P在抛物线x2＝－2y上，抛物线的焦点为F，则点P到点Q(－1，－2)与点F距离之和的最小值为()A．2B．32C．52D．3[答案]C[解析]过P向抛物线的准线作垂线PP′，垂足为P′，由抛物线的定义知|PF|＝|PP′|，因此当P，Q，P′三点共线时，即P为P1点时，|PP′|＋|PQ|取到最小值|P1′Q|＝52.(理)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B．12C．52D．22[答案]D[解析]在同一坐标系中画出函数f(x)＝x2与g(x)＝lnx的图象如图，作直线x＝t，由题意知t0，则|