2016高考数学二轮复习微专题强化练习题29坐标系与参数方程

第一部分三29一、填空题1．(2015·北京理，11)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．[答案]1[解析]考查极坐标与直角坐标的互化；点到直线距离．先把点极坐标2，π3化为直角坐标(1，3)，再把直线的极坐标方程ρ()cosθ＋3sinθ＝6化为直角坐标方程x＋3y－6＝0，利用点到直线距离公式d＝|1＋3－6|1＋3＝1.2．(2014·湖南理，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．[答案]ρsin(θ－π4)＝－22[解析]曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以直线l过圆心(2,1)，所以直线l的方程为y＝x－1，化为极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρsin(θ－π4)＝－22.3．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．[答案]63[解析]椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，直线l的普通方程为x＋y－m＝0，圆O的普通方程为x2＋y2＝b，即x2＋y2＝b2.若l过右焦点(c,0)，则c－m＝0且|m|2＝b，∴c＝2b，c2＝2b2，c2＝2(a2－c2)∴ca＝63，同理l过左焦点(－c,0)时，也求得e＝63.4．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(42，π4)，曲线C的参数方程为x＝1＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为________．[答案]5－2[解析]依题意，点M的直角坐标是(4,4)，曲线C：(x－1)2＋y2＝2，圆心C(1,0)，|CM|＝4－12＋42＝52，因此所求的距离的最小值是5－2.5．(2015·湖北理，16)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.[答案]25[解析]考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化及两点间的距离公式．由极坐标与直角坐标的关系x＝ρcosθy＝ρsinθ可得直线l的直角坐标方程为y＝3x；①由曲线C的参数方程可得其直角坐标方程为y2－x2＝4；②联立①②可解得直线l与曲线C的交点坐标A(22，322)，B(－22，－322)或A(－22，－322)，B(22，322)，因此可解得|AB|＝25.故本题正确答案为25.二、解答题6．(文)(2015·福建理，21)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．[解析]考查1.参数方程和普通方程的互化；2.极坐标方程和直角坐标方程的互化；3.点到直线距离公式．(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－－2＋m|2＝2，解得m＝－3±22.(理)(2015·太原市模拟)已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为x＝－1＋tcos45°，y＝－2＋tsin45°(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2a(a0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．[解析](1)∵x＝－1＋tcos45°，y＝－2＋tsin45°，(t为参数)．∴直线l的普通方程为x－y－1＝0，∵ρsinθtanθ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的普通方程为y2＝2ax；(2)∵y2＝2ax，∴x≥0，设直线l上点M，N对应的参数分别是t1，t2(t10，t20)，则|PM|＝t1，|PN|＝t2，∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝12|PN|，∴t2＝2t1，将x＝－1＋tcos45°，y＝－2＋tsin45°代入y2＝2ax得t2－22(a＋2)t＋4(a＋2)＝0，∴t1＋t2＝22a＋2，t1t2＝4a＋2，又∵t2＝2t1，∴a＝14.7．(文)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为x＝5cosφ，y＝3sinφ，(φ为参数)．(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：x＝4－2t，y＝3－t，(t为参数)平行的直线l的普通方程．(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．[分析](1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析](1)由C的参数方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴右焦点F2(4,0)，将直线m的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝12，于是所求直线方程为x－2y－4＝0.(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴当2φ＝π2时，Smax＝30，即矩形面积的最大值为30.(理)在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t，(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长．[解析]解法1：将l的方程化为普通方程得l：x＋y＝3，∴y＝－x＋3，代入抛物线方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9.∴交点A(1,2)，B(9，－6)，故|AB|＝82＋82＝82.解法2：将l的参数方程代入y2＝4x中得，(2＋22t)2＝4(1－22t)，解之得t1＝0，t2＝－82，∴|AB|＝|t1－t2|＝82.8．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsinθ－π6＝12，曲线C的参数方程为：x＝2＋2cosα，y＝2sinα.(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[解析](1)∵ρsinθ－π6＝12，∴ρ32sinθ－12cosθ＝12，∴32y－12x＝12，即l：x－3y＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，所以，曲线C上的点到直线l的距离d＝|2＋2cosα－23sinα＋1|2＝4cosα＋π3＋32≤72.所以最大距离为72.解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.9．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a0)，l：ρcosθ－π3＝32，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a；(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝π3，求|OA|＋|OB|的最大值．[解析](1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为x＋3y－3＝0.由直线l与圆C相切可得|a－3|2＝a，解得a＝1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋π3，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cosθ＋π3＝3cosθ－3sinθ＝23cosθ＋π6，当θ＝－π6时，|OA|＋|OB|取得最大值23.(理)(2015·石家庄市一模)已知曲线C1的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ.(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．(2)已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|＋|PN|的最大值．[解析](1)曲线C1的普通方程为x24＋y23＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)法一：由曲线C2：x2＋y2＝4，可得其参数方程为x＝2cosαy＝2sinα，所以P点坐标为(2cosα，2sinα)，由题意可知M(0，3)，N(0，－3)．因此|PM|＋|PN|＝2cosα2＋2sinα－32＋2cosα2＋2sinα＋32＝7－43sinα＋7＋43sinα(|PM|＋|PN|)2＝14＋249－48sin2α.所以当sinα＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28，因此|PM|＋|PN|的最大值为27.法二：设P点坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4，由题意可知M(0，3)，N(0，－3)．因此|PM|＋|PN|＝x2＋y－32＋x2＋y＋32＝7－23y＋7＋23y(|PM|＋|PN|)2＝14＋249－12y2.所以当y＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28，因此|PM|＋|PN|的最大值为27.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋ty＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解析](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.(理)(2015·太原市一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝1＋3cosθ，y＝3sinθ(其中θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足OP→＝2OM→.(1)求曲线C2的普通方程；(2)以原点O为原点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝π3与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|.[解析](1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵OP→＝2OM→，∴x＝2x′，y＝2y′，∵点M在曲线C1上，∴x′＝1＋3cosθ，y′＝3sinθ，∴(x′－1)2＋y′2＝3，将x′＝x2，y′＝y2代入得，曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12；(2)∵曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝3，∴曲线C1