2016高考数学二轮复习微专题强化练习题8平面向量

第一部分一8一、选择题1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10[答案]B[解析]本题考查向量的模及垂直问题．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.[方法点拨]1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．注意垂直与平行的坐标表示不要混淆．2．(文)(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5[答案]A[解析]本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.联立方程解得ab＝1，故选A.(理)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝32，|a＋b|＝22，则|b|等于()A.12B．1C.32D．2[答案]B[解析]∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.3．(文)(2015·四川文，2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．6[答案]B[解析]由向量平行的性质，有＝x，解得x＝3，选B.[方法点拨]若a与b都是非零向量λμ≠0，则λa＋μb＝0⇔a与b共线；若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0⇔x1y1＝x2y2(y1y2≠0)．(理)(2015·新课标Ⅰ文，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)[答案]A[解析]本题主要考查平面向量的线性运算．BC→＝BA→＋AC→＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故本题正确答案为A.4．(2015·北京文，6)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]考查充分必要条件、向量共线．a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．5．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为()A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案]C[解析]∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝3|a|，则cosθ＝a＋b·a－b|a＋b|·|a－b|＝a2－b22|a|2＝－2a24a2＝－12⇒θ＝2π3.解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为2π3.[方法点拨]两向量夹角的范围是[0，π]，a·b0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b0与〈a，b〉为钝角不等价．6．(2015·广东文，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→＝()A．5B．4C．3D．2[答案]A[解析]考查：1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD→·AC→＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.7．(文)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→＝()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→[答案]D[解析]EF→＝AF→－AE→＝AB→＋13AD→－(AD→＋12AB→)＝12AB→－23AD→.(理)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→＋2OC→＝3OB→，则|BC→||AB→|的值为()A.12B.13C.14D.16[答案]A[解析]∵OA→＋2OC→＝3OB→，∴OA→－OC→＝3(OB→－OC→)，∴CA→＝3CB→，∴BA→＝2CB→，∴|BA→|＝2|CB→|，∴|BC→||AB→|＝12，故选A.8．(文)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2[答案]C[解析]抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为FP→＝4FQ→，∴|PQ→||PF→|＝34，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得|QA||FG|＝|PQ→||PF→|＝34，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.(理)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，AD→＝14AC→＋λAB→(λ∈R)，则AD的长为()A．1B.3C．3D．33[答案]D[解析]在AC上取E点，在AB上取F点，使AE→＝14AC→，AF→＝λAB→，∵AD→＝14AC→＋λAB→＝AE→＋AF→，∴DE∥AB，DF∥AC，∴AFBF＝CDBD＝CEAE＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝33.9．(文)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取值范围是()A．[4,6]B．[19－1，19＋1]C．[23，27]D．[7－1，7＋1][答案]D[解析]考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．设D(x，y)，则由|CD→|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，而|OA→＋OB→＋OD→|＝x－12＋y＋32表示点D(x，y)到点(1，－3)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－3)与点(3,0)的距离为7，∴|CA→＋OB→＋OD→|的取值范围为[7－1，7＋1]．(理)(2015·湖南文，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9[答案]B[解析]考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质．由题根据所给条件不难得到该圆x2＋y2＝1是以AC为直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA―→＋PB―→＋PC―→|＝|2PO―→＋PB―→|，又PB→＝OB→－OP→，∴|PA→＋PB→＋PC→|＝|2PO→＋OB→－OP→|＝|OB→－3OP→|＝|OB→|2＋9|OP→|2－6OB→·OP→＝1＋9×4－12cos∠POB＝37－12cos∠POB≤7，当且仅当∠POB＝180°时取等号，故最大值为7，选B.10．(文)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，BE→＝λBC→，DF→＝μDC→.若AE→·AF→＝1，CE→·CF→＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.712[答案]C[解析]∵AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋λBC→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋μDC→，∴AE→·AF→＝(AB→＋λBC→)·(AD→＋μDC→)＝AB→·AD→＋λAD→·BC→＋μAB→·DC→＋λμBC→·DC→＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos120°)＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①CE→·CF→＝(1－λ)CB→·(1－μ)CD→＝－2(1－λ)(1－μ)＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＝－23.②解①②组成的方程组得λ＋μ＝56.[方法点拨]1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．2．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．(理)(2015·江西质检)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·F2P→＝0，O为坐标原点，且|PF1→|＝2|PF2→|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5[答案]D[解析]由(OP→＋OF2→)·F2P→＝0，得(OP→＋OF2→)·(OP→－OF2→)＝0，即|OP→|2－|OF2→|2＝0，所以|OP→|＝|OF2→|＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|PF1→|＝2|PF2|，解得|PF1|＝45c，|PF2|＝25c.所以|PF1|－|PF2|＝25c＝2a，所以e＝ca＝5.二、填空题11．(文)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.[答案]－14[解析]如图，令AB→＝a，AC→＝b，AD→＝12(a＋b)，BE→＝BC→＋CE→＝(b－a)＋－b3＝23b－a，∴AD→·BE→＝a2＋b2·23b－a＝13a·b－|a|22＋|b|23－12a·b＝|b|23－|a|22－16a·b＝13－12－16×12＝－14.(理)(2015·天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝23BC→，DF→＝16DC→，则AE→·AF→的值为________．[答案]2918[解析]考查平面向量的数量积．如图，O为AB的中点，设AO→＝a，AD→＝b，则|a|＝|b|＝1且a·b＝12，根据梯形的性质可得DC→＝AO→＝a，BC→＝OD→＝b－a.所以AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝2a＋23(b－a)＝43a＋23b.AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋16DC→＝16a＋b.所以AE→·AF→＝43a＋23b·16a＋b＝29a2＋139a·b＋23b2＝2918.12．(文)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案]223[解析]本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝13，∴|a|2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9e21－6e1·e2＋e22＝8，a·b＝9e21－9e1·e2＋2e22＝8，∴|b|＝22，cosβ＝a·b|a|·|b|＝83×22＝223.(理)如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n的取值范围是________．[答案](－1,0)[解析]根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则OD→＝tOC→.∵D在圆外，∴t－1，又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得OD→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，又由已知，OC→＝mOA→＋nOB→，∴tmOA→＋tnOB→＝