2016高考数学二轮精品复习材料(5)等差等比

第五讲等差等比★★★高考在考什么【考题回放】1．在等差数列}{na中，836aaa，则9S（A）A.0B.1C.1D.-1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q，则2q的值为（D）A.2B.215C.215D.2153.已知数列{na}的前n项和29nSnn，第k项满足58ka，则k（B）A．9B．8C.7D．64.已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（D）A．2B．3C．4D．55.设等差数列na的公差d不为0，19ad．若ka是1a与2ka的等比中项，则k（B）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．86.等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为．13★★★高考要考什么等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列na，若212nnnaaa等差数列的通项公式：dnaan)1(1------该公式整理后是关于n的一次函数等差数列的前n项和1．2)(1nnaanS2.dnnnaSn2)1(13.BnAnSn2等差中项:如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。也就是：23121nnnaaaaaa，3．若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S3214．设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和，则有如下性质：○1当n为偶数时，d2nS奇偶S，○2当n为奇数时，则中偶奇aSS，偶奇SSnn1，等比数列的判定方法:①定义法：若)0(1qqaann②等比中项：若212nnnaaa，则数列na是等比数列。等比数列的通项公式:如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。等比数列的前n项和:○1)1(1)1(1qqqaSnn○2)1(11qqqaaSnn○3当1q时，1naSn等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么abG2。等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa也就是：23121nnnaaaaaa。3．若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321★★突破重难点【范例1】nS设是等差数列na的前n项和，已知434131SS与的等比中项为551S，434131SS与的等差中项为1，求数列na的通项．解析由已知得234534111()34511234SSSSS，即2113505222addad，解得101da或11254da1na或321255nan经验证1na或nan512532均满足题意，即为所求．【点睛】若nS是等差数列na的前n项和，则数列{}nSn也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【变式】已知等差数列｛an｝的公差和等比数列｛bn｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn．解：由已知2114112345adadadad①②由①，得a1（3d2－1）＝2d③由②，得a1（5d4－1）＝4d④因为d≠0，由③与④得2（3d2－1）＝5d4－1，即5d4－6d2＋1＝0，解得d＝±1，d＝±55．∵d＞0，d≠1，∴d＝55．代入③，得a1＝－5，故b1=－5.an＝－5＋55（n－1）＝55（n－6），bn＝－5×（55）n－1．本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：4121，4143，83，163…………已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)试写出aij关于i，j的表达式；(3)记第n行的和为An，求.21nnnnnaaaA解析（1）由题知1na成等差数列，且21,412111aa，所以公差811,24da。又3na成等比数列，且83,433231aa．又公比都相等，∴每行的公比是21q．∴21)21(2283a．（2）由（1）知，441)1(411iiai，∴1111)21()21(4)21(jjjiijiiaa．（3）])21()21(211[121nnnaA11)21(2])21(2[4nnnnn．【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（２）设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得2am+2=am+am+1∴2a1qm+1=a11mq+a1qm∵a1≠0q≠0，∴2q2－q－1=0，∴q=1或q=－21新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2=(m+2)a1，Sm+1=(m+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当q=－21时，2212112[1()]4122113212mmmaSa，12111111[1()][1()]4122111321122mmmmmaaSSa∴Sm+Sm+1=2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．【变式】等差数列{}na的前n项和为1312932nSaS，，．（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；（Ⅱ）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（Ⅰ）由已知得112133932aad，，2d，故212(2)nnanSnn，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2nnSbnn．假设数列{}nb中存在三项pqrbbb，，（pqr，，互不相等）成等比数列，则2qprbbb．即2(2)(2)(2)qpr．2()(2)20qprqprpqrN，，，2020qprqpr，，22()02prprprpr，，．与pr矛盾．所以数列{}nb中任意不同的三项都不可能成等比数列．【范例3】若有穷数列12,...naaa（n是正整数），满足1211,....nnnaaaaaa即1iniaa（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列nb是项数为7的对称数列，且1234,,,bbbb成等差数列，142,11bb，试写出nb的每一项（2）已知nc是项数为211kk的对称数列，且121,...kkkccc构成首项为50，公差为4的等差数列，数列nc的前21k项和为21kS，则当k为何值时，21kS取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得211,2,2...2m成为数列中的连续项；当1500m时，试求其中一个数列的前2008项和2008S解：（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①22122122222221mmm，，，，，，，，，，；②2211221222222221mmmm，，，，，，，，，，，；③122221222212222mmmm，，，，，，，，，，；④1222212222112222mmmm，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m≥时，1222212008200722008S．当15002007m≤时，200922122008222221mmmmS2009212212mmm1222200921mmm．对于②，当2008m≥时，1220082008S．当15002007m≤时，2008S122200821mm．对于③，当