2016高考数学理科二轮复习习题专题综合检测(八)

1专题综合检测(八)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线y＝2x＋1的参数方程是(C)A.x＝t2y＝2t2＋1B.x＝2t－1y＝4t＋1C.x＝t－1y＝2t－1D.x＝sinθy＝2sinθ＋12．在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是(A)A.1，π2B.2，π2C．(1，0)D．(1，π)解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以x2＋y2－2y＝0，其圆心坐标为(0，1)，其极坐标为1，π2.3．已知圆的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，该圆的方程为(B)A．ρ＝2cosθB．ρ＝2sinθC．ρ＝－2cosθD．ρ＝－2sinθ解析：x2＋y2－2y＝0⇒x2＋(y－1)2＝1，该方程表示圆心为(0，1)，半径为1的圆，如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，则|OM|＝2sinθ，所以ρ＝2sinθ，故选B.24．参数方程x＝2－t，y＝－1－2t(t为参数)与极坐标方程ρ＝sinθ所表示的图形分别是(B)A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线解析：将参数方程x＝2－t，y＝－1－2t消去参数t得2x－y－5＝0，所以对应图形为直线．由ρ＝sinθ得ρ2＝ρsinθ，即x2＋y2＝y，即x2＋y－122＝14，对应图形为圆．5．若圆的方程为x＝－1＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝t－1，y＝3t－1(t是参数)，则直线与圆的位置关系是(B)A．相交过圆心B．相交且不过圆心C．相切D．相离6．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为(B)A．240B．200C．180D．1603解析：依题意，得每吨的成本为yx＝x10＋4000x－30，则yx≥2x10·4000x－30＝10，当且仅当x10＝4000x，即x＝200时取等号，故选B.7．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(D)A.14B．214C.2D．22解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圆心C(2，0)，半径r＝2，圆心(2，0)到直线l的距离d＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22.8．已知动直线l平分圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则直线l与圆O：x＝3cosθy＝3sinθ(θ为参数)的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．过圆心解析：动直线l平分圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：x＝3cosθ，y＝3sinθ的普通方程为x2＋y2＝9且22＋129，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O的位置关系是相交．9．△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和3，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为(A)4A.2B.22C.62D.33解析：∵△ABC∽△A′B′C′，则21＝63，则△A′B′C′的第三边长为22＝2.10．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上靠近点A的一个三等分点，则△ADE与四边形DECB的面积之比为(D)A．1∶3B．1∶9C．1∶4D．1∶8解析：由题知△ADE与△ABC的相似比为1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9.则△ADE与四边形DECB的面积之比为1∶8.11．点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中的相似三角形共有(C)A．2对B．3对C．4对D．5对12．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN.则下列叙述正确的是(C)5A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON和四边形ABCD是相似形D．四边形MBCO和四边形OCDN都是等腰梯形二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2015·北京卷)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为1．解析：先把点2，π2极坐标化为直角坐标(1，3)，再把直线的极坐标方程ρ(cosθ＋3sinθ)＝6化为直角坐标方程x＋3y－6＝0，利用点到直线距离公式d＝|1＋3－6|1＋3＝1.14．(2015·广东卷)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，74π，则点A到直线l的距离为522．解析：依题意已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A与直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.615．(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝8．解析：如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC，又O为AB线段的中点，所以为OP＝12BC＝12，在Rt△OCD中，OC＝12AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD即OD＝OC2OP＝2212＝8.16．(2015·广东卷)如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD＝3．7三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·新课标Ⅱ卷)如图O是等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点．(1)证明EF∥BC；(2)若AG等于圆O半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．分析：(1)要证明EF∥BC，可证明AD⊥BC，AD⊥EF；(2)先求出有关线段的长度，然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求．解析：(1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB8的平分线，又因为圆O与AB，AC分别相切于E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，所以EF∥BC.(2)由(1)知AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为圆O的弦，所以O在AD上，连接OE，OF，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，因此，△ABC和△AEF都是等边三角形，因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2，因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1，于是AD＝5，AB＝1033，所以四边形DBCF的面积为12×10332×32－12×(23)2×32＝1633.18．(12分)(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AD交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．分析：(1)先证∠CBD＝∠BED，再证∠DBA＝∠BED，进而可证∠CBD＝∠DBA；(2)先由(1)知BD平分∠CBA，进而可得AD的值，再利用切割线定理可得AE的值，进而可得⊙O的直径．解析：(1)因为DE为圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.9又AB切圆O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD×AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即圆O的直径为3.19．(12分)(2015·新课标Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosαy＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解析：(1)曲线C2的直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标系方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A得极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)，所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.20．(12分)(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方10程为x＝3＋12ty＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．分析：(1)先将ρ＝23sinθ两边同乘以ρ可得ρ2＝23ρsinθ，再利用ρ2＝x2＋y2，x＝ρsinθ可得⊙C的直角坐标方程；(2)先设P的坐标，则|PC|＝t2＋12，再利用二次函数的性质可得|PC|的最小值，进而可得P的直角坐标．解析：(1)由ρ＝23sinθ得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为(3，0)．21．(12分)(2015·新课标Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd；则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．解析：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)．因此a＋b＞c＋d.11(2)(ⅰ)若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.(ⅱ)若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．22．(12分)(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4|}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．分析：(1)先由|x＋a|＜b可得－b－a＜x＜b－a，再利用关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4|}可得a，b的值；(2)先将－3t＋12＋t变形为3·4－t＋t，再利用柯西不等式可得