41矩阵的特征值与特征向量.

12矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,矩阵的对角化问题是矩阵理论的重要组成部分．本章利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法,并给出矩阵对角化的条件,介绍实对称矩阵对角化的方法.本章是理论与应用相结合的重要的一章,内容丰富,综合性强,难度较大.本章的主要内容§4.1矩阵的特征值与特征向量§4.2相似矩阵与矩阵对角化§4.3实对称矩阵的对角化34一、特征值与特征向量的基本概念及计算方法§4.1矩阵的特征值与特征向量二、特征值与特征向量的性质三.小结与思考题5一.特征值与特征向量的基本概念及计算方法存在非零n维列向量X,使得于特征值的一个特征向量.定义4.1设A是n阶方阵,AXX成立,则称为矩阵A的一个特征值,若对于数域F中的数,X为矩阵A的对应1.特征值与特征向量的定义对于任意n阶矩阵A，是否一定有特征值与特征向量呢？因为，例如，在实数域上，对于矩阵231,5,141XA231141XA51551X故由定义4.1知，λ=5是A的一个特征值,是A的属于特征值λ=5的特征向量；11X6122=2XX对于向量，1323131=,31XXXX1，有1232142XA11025102X223-114-1XA2-5-15-5-1X133132314AX5133351335X7(2)方阵A的与特征值对应的特征向量不唯一,即注1(1)在讨论矩阵A的特征值与特征向量问题时,A是方阵;(3)一个矩阵是否有特征值与特征向量,与考虑问题的数域有关，我们只在实数域上研究矩阵的特征值与特征向量．如果向量X是矩阵A的属于特征值的特征向量,则向量kX都是矩阵A的属于特征值的特征向量;(0)k故由定义4.1知，λ=5也是X1、X2、X3的特征值,即对于λ=5的特征向量是不唯一的.892.特征值与特征向量的计算方法AXX因为则EAXO已知0,X所以齐次线性方程组有非零解，则0EAEA的行列式定义4.2nnijnnAan设为阶矩阵,EA为A的特征矩阵.称矩阵称为矩阵A的特征多项式.()fEA=方程称为A的0EA的特征方程,方程的根称为A的特征根．0EA101112121222120nnnnnnaaaaaaafEaaA命题矩阵A的特征值就是A的特征根．根据多项式理论，在复数范围内，矩阵A的特征方程有n个特征根(k重根算k个根)．A的关于特征值λ的全部特征向量就是齐次线性方程组()EAX的全部非零解向量．11求特征值、特征向量的方法:(2)0EA由求出的全部根,即为特征值;(3)把得到的特征值i分别代入齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解X,iEAX即为所求特征向量.（1）计算n阶矩阵A的特征多项式();fEA=1122(1,2,,)iinrnrXkkkis12解A的特征多项式为3113EA2(3)1286(4)(2)122,4.A所以的特征值为1=2,当时对应的特征向量应满足1232101320xx例131.13A求的特征值和特征向量1213121200xxxx即12,xx解得所以对应的特征向量可取为24,当时由12,xx解得1234101340xx12110110xx即21.1X11.1X所以对应的特征向量可取为14解第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.EA1104300102例2求矩阵的特征值和全部特征向量.110430102A221015第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组,EAXO求非零解.解得特征值为1232,1齐次线性方程组为12当时,2EAX系数矩阵3102410100EA100010000163,x为自由未知量120xx，31x令1001X111(0kXk所以，为常数）是对应于特征向量得基础解系12的全部齐次线性方程组为231当时，EAX系数矩阵17210420101EA10101200013232xxxx得基础解系2121X222(0kXk所以为常数）是对应于231的全部特征向量.例3设111222111A，求A的特征值和特征向量;解1112+2211+1EA=2201230,2解得120,当时AX由齐次线性方程组系数矩阵1819111222111111000000A123xxx为自由未知量,23,xx取得基础解系12110,110XX11221212(,)0kXkXkk是不同时为零的常数是对应于的全部特征向量32当时,(2)EAX由齐次线性方程组203111112020121110003x取为自由未知量,10101200013232xxxx得基础解系3121X3333(0)2kXk是的全部特征向量.2EA解第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.122212221EA例4求矩阵的特征值和全部特征向量.122212221A(1)(1)(3)=0解得特征值为1231,13，21第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组,EAX求非零解.齐次线性方程组为11当时,EAX系数矩阵222111222004222004EA111110001001000000221110X111(0kXk所以，为常数）是对应于得基础解系11的全部解.A的属于特征值231=3，时，222333101,1,11kXkkXk类似可以求得的全部特征向量分别为23,kk是不为零的常数.23例5若是A的一个特征值，证1110()mmmmfAaAaAaAaE1110()mmmmfaaaaE2()AXAAX(1,2,,)kkAXXkn证明是矩阵f(A)的一个特征值.若是A的一个特征值，由AX=X,有()AXAX2X所以即i是Ai(i=1,2,┅,m)的一个特征值,故241110()()mmmmfAXaAaAaAaEX1110()()()()mmmmaAXaAXaAXaEX1110mmmmaXaXaXaEX1110(),mmmmaaaaX1110()mmmmfaaaa是矩阵f(A)的一个特征值.所以253.特征多项式f()的性质在特征多项式111212122212nnnnnnaaaaaaaaafEA中有一项是主对角线上元素的连乘积：1122()()()nnaaa11122()()(1)nnnnnfaaaAf()的展开式的其余各项为2627性质1设n阶方阵A的n个特征值为12,,,n则121122(1)nnnaaa＋＋＋称为矩阵A的迹，记为121(2)niniA＝设f()=0的根为12,,,n，则有12()()()()nf11122()(1)nnnnnaaaA1()niiitrAa28若A的特征值是,X是A的对应于的特征向量,性质2(1)kA的特征值是k;(k是任意常数)(2);mmA的特征值是(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1,A的特征值是.A1,,,mkAAAA且X仍然是矩阵分别对应于11,,,Amk的特征向量.29证2AXX因为AAXAXAXX所以22AXX再继续施行上述步骤m-2次,就得mmAXX,.mmmmAXA故是矩阵的特征值且是对应于的特征向量(4)()fx为x的多项式,则f(A)的特征值为().f30AXX由可得111AAXAXAX11AXX(3),0,A当可逆时1111,.AXA故是矩阵的特征值且是对应于的特征向量其它请同学们自己证明.例6已知三阶方阵A的特征值为1、2、3,求矩阵A*+E的行列式.解由性质1（2）知1231236AA则矩阵A*的特征值所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值分别是7，4，3，故74384AE3132定理4.1矩阵A和AT的特征值相同.证因为()TEAEA即A与AT有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值．二、特征值与特征向量的性质TEA注虽然A与AT有相同的特征多项式，但它们的属于同一特征值的特征向量不一定相同．3311,mX当时假设结论对m－1个互异特征值对应的特征向量定理4.2设12,,,m12,,,mXXX依次是与之对应的特征向量.线性无关.证已知,1,2,,iiAXXim是方阵A的m个特征值，如果12,,,m12,,,mXXX各不相等,则线性无关.即方阵Ａ的属于不同特征值的特征向量X1线性无关.线性无关，现证明m个互异特征值对应的特征向量也线性无关.1122,mmAkXkXkX111222(2)mmmkXkXkX112211(1)mmmmkXkXkXkX设用A左乘（1）式两端得因为,1,2,,iiAXXim所以用m乘（1）式两边得112211(3)mmmmmmmmkXkXkXkX用(3)式减去(2)式,得111222111()()()mmmmmmkXkXkX3435代入(1)式得,得()0(1,2,1)imikim,,0mmmmkXXk而则，由归纳法假设，线性无关，所以121,,,mXXX0(1,2,1)miikim因为，则线性无关.12,,,mXXX故36定理4.3设12,,,m是方阵A的互异特征值12,,,iiiirXXX而(1,2,,)im是A的属于特征值i的线性无关特征向量，则向量组线性无关.111121,,,rXXX，221222,,,rXXX，，12,,,mmmmrXXX由定理4.3,对于一个n阶矩阵A,求它的属于每个特征值的线性无关特征向量,把它们合在一起