41线性微分方程的一般理论

1第四章高阶微分方程Higher-OrderLinearODE2§4.1线性微分方程的一般理论§4.2常系数线性微分方程的解法§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/3理解高阶线性微分方程解的性质和解的结构熟练掌握常系数线性微分方程的解法本章要求/Requirements/掌握高阶微分方程的一般解法4GeneralTheoryofLinearODE§4.1线性微分方程的一般理论5理解高阶齐次线性微分方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性微分方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/6n阶线性微分方程一般形式：).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(tf及其中),,2,1)((nitai是区间bta上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐次线性微分方程。).()()()(2401111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn4.1.1引言n阶微分方程一般形式：0),,,,()(nxxxtF7方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初值条件：定理1),,2,1()(nitai及)(tf都是区间bta则对于任一],[0bat及任意的,,,)1(0)1(00nxxx方程（4.1）存在)(tx，定义于区间上的连续函数,bta)3.4()(,,)(,)()1(0101)1(0000nnnxdttdxdttdxt唯一解如果).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn84.1.2齐次线性微分方程解的性质与结构如果)(,),(),(txtxtxk21则它们的线性组合)()()(2211txctxctxckk的解，这里kccc,,,21是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例)0(0222为常数wywdxyd有解wxycoswxysinwxCysin2wxCycos1wxCwxCysincos21).()()()(2401111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn定理2（叠加原理）9证明)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn()1122[()()()]nkkcxtcxtcxt(1)11122()[()()()]nkkatcxtcxtcxt)]()()()[(2211txctxctxctakkn])()()([111111111xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn])()()([221121122xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn])()()([knknnknnknkxtadtdxtadtxdtadtxdc1111010问题：nk时，若)()()(2211txctxctxcxnn能否成为方程（4.2）的通解？wxycos1wxycos52wxCwxCycos5cos21不一定不是方程的通解要使)()()(2211txctxctxcxnn为方程（4.2）的通解)(,),(),(txtxtxn21还需满足一定的条件。?当)(,),(),(txtxtxn21是齐次线性微分方程的解，如在上例中11函数线性无关和线性相关定义在bta)(,),(),(21txtxtxk上的函数，如果存在kccc,,,21使得恒等式不全为零的常数0)()()(2211txctxctxckk对所有bat,成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关。,cosxxsin如在任何区间上都线性无关,cos2x1,sin2x在任何区间上都线性相关nttt,,,,12),(在区间上线性无关),(ttctctccnn02210要使得则0210ncccc12)()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk定义在bta区间上的k个可微k-1次的函数)(,),(),(21txtxtxk所作成的行列式)(,),(),()(21txtxtxWtWk称为这些函数的朗斯基行列式。朗斯基（Wronsky）行列式13定理3)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关，],[ba上它们的朗斯基行列式0)(tW。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数,,,,21nccc0)()()(2211txctxctxcnnbta（4.6）0)()()(0)()()(0)()()()1()1(22)1(1122112211txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数nccc,,,21的齐次线性代数方程组，把（4.6）和（4.7）看成关于14它的系数行列式,)(,),(),(21txtxtxWn方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即0)(tWbta由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：10010)(21ttttx10010)(22ttttx即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。不一定15)(),(21txtxW10010)(21ttttx10010)(22ttttx10020001002022tttttt10000100)()(2212212211ttcctctctxctxc021cc]1,1[t故)(),(21txtx是线性无关的。16定理3)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关，],[ba上它们的朗斯基行列式0)(tW。则在若函数其逆定理不一定成立？即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。17如果方程(4.2)的解)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关，则)(,),(),(21txtxtxWn任何点上都不等于零，即0)(tWbta在这个区间的定理4设有某个,0tbta0，使得0)(0tW考虑关于nccc,,,21的齐次线性代数方程组证明反证法0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.9）18其系数行列式0)(0tW，故（4.9）有非零解nccc~,,~,~21构造函数)(~)(~)(~)(2211txctxctxctxnnbta根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件)(tx0)()()(0)1(00txtxtxn0x由解的唯一性知)(tx0bta，即0)(~)(~)(~2211txctxctxcnn因为nccc~,,~,~21不全为0，与)(,),(),(21txtxtxn的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，bta线性无关证毕也满足初始条件（4.10）19如果方程(4.2)的解)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关，则)(,),(),(21txtxtxWn任何点上都不等于零，即0)(tWbta在这个区间的定理4定理3若函数)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关，则在],[ba上它们的朗斯基行列式0)(tW。其逆定理不一定成立？即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。20定理5n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。重要结论)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关12(),(),,()0nWxtxtxt的充分必要条件是证明),,2,1()(nitai在上连续，取bta],[0bat)(,,)(,)()1(00)1(0000nnxtxxtxxtx则满足初值条件的解存在唯一。bta设是方程(4.2)的解，则（1）)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关12(),(),,()0nWxtxtxt，的充分必要条件是（2）)(,),(),(21txtxtxn210)(,,0)(,1)(0)1(00txtxtxn)(1tx0)(,,1)(,0)(0)1(00txtxtxn)(2tx1)(,,0)(,0)(0)1(00txtxtxn)(txn01)(,),(),(021EtntxtxtxW)(,),(),(21txtxtxn线性无关。即齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。22定理6（通解结构）)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中nccc,,,21是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。如果证明1)（4.11）一定是方程（4.2）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)（4.11）包含了方程（4.2）的所有解。23证明：首先（4.11）是（4.2）的解，又121212(1)(1)(1)12=(),(),,()0nnnnnnnxxxcccxxxcccWxtxtxtxxxccc因此，是独立的。进而，（4.11）是（4.2）的通解。12,,,nccc24任给一初值条件(1)(1)000000(),(),,()nnxtxxtxxtx设（4.11）是满足（4.12）的解，可得1102200011022000(1)(1)(1)(1)11022000()()()()()()()()()nnnnnnnnnncxtcxtcxtxcxtcxtcxtxcxtcxtcxtx系数行列式，故方程组有唯一的解00Wt12,,,nccc)()()(2211txctxctxcxnn是满足初值条件的解（4.12）25方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。基本解组不唯一。n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。作业：P.131，1，2,4,50()1Wt当时，称其为标准基本解组。26定理5n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关12(),(),,()0nWxtxtxt的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。bta设是方程(4.2)的解，则（1）)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关12(),(),,()0nWxtxtxt，的充分必要条件是（2）)(,),(),(21txtxtxn复习27定理6（通解结构）)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中nccc,,,21是任