421线性变换的定义和性质

线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．１．映射一、线性变换的概念).(,)(),(,,,,,,1ATTBABABA或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中任一如果对于设有两个非空集合定义,)()(ATAT变换的概念是函数概念的推广．即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为变为把元素就说变换设),(,,.,,,)(,ATTATTTTA.)(BAT显然;,,)1(212121TTTVn有任给.,,)2(kTkTRkVn都有任给.,的线性变换到为从就称那么mnUVT满足如果变换的变换到是一个从性空间维线维和分别是实数域上的设定义TUVTmnUVmnmn,,,22.从线性空间到的线性变换VnUm.,,,,2)(下的象在变换代表元素或变换代表线性一般用黑体大写字母TTTBAT说明.)1(组合的对应的变换线性变换就是保持线性.,,中的线性变换称为线性空间自身的线性变换到其是一个从线性空间那么如果VVTVUnnnm３．从线性空间到其自身的线性变换Vn下面主要讨论线性空间中的线性变换．Vn,][3中在线性空间xP例1.)1(是一个线性变换微分运算D,][3012233xPaxaxaxap,231223axaxaDp,][3012233xPbxbxbxbq,231223bxbxbDq)]()()()[(0011222333baxbaxbaxbaD)(qpD从而)()(2)(31122233baxbaxba)23()23(12231223bxbxbaxaxa;DqDp)()(012233akxakxakxakDkpD)23(1223axaxak.kDp.,)()2(0也是一个线性变换那么如果TapT);()()(00qTpTbaqpT).()(0pkTakkpT.,,1)()3(11性变换但不是线是个变换那么如果TpT,1)(1qpT,211)()(11qTpT但).()()(111qTpTqpT所以.,cossinsincos的几何意义说明平面上的一个变换确定由关系式TTxOyyxyxT例2解,sin,cosryrx记于是yxTcossinsincosyxyxcossinsincossinsincoscosrrrr,)sin()cos(rr.:角转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明Txyopp1证明设.,VxgVxf则有dttgtfxgxfTxadttgdttfxaxaxgTxfT例３定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间，在这个空间中变换是一个线性变换.dttfxfTxaVxkfT故命题得证.证明则有EEEV,设dttkfxatdtfkxa.xfkT.kEkkE例４线性空间中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换．.,VEVE所以恒等变换是线性变换．E证明000000设,,V则有.0000kkk所以零变换是线性变换．例５线性空间中的零变换：是线性变换．00VO证明,,,,,,3321321Rbbbaaa332211,,bababaTT0,,3232211bbaaba0,,0,,32213221bbbaaa.TT证毕.例６在中定义变换则不是的一个线性变换．0,,,,3221321xxxxxxT3R3RT;,00.1TTT.,,,,,,,.32121亦线性相关则线性相关若mmTTT;,.222112211mmmmTkTkTkTkkk则若二、线性变换的性质.,,,,,,,2121不一定线性无关则线性无关若mmTTT注意零变换证明,,21nVT设,,21nV则有,,2211TT使从而2121TT,21nVTT;21nV因11kTk,1nVTkT,1nVk因由于,nnVVT由上述证明知它对中的线nV线性运算封闭，故它是的子空间．nV.),()(.4的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换TVVTTnn证明,,21TS若,0,021TT则2121TTT0;21TS,,1RkST若则0011kkTkT.1TSk,对线性运算封闭因此TS,nTVS又.的子空间是故nTVS.,0,0.5的核称为线性变换的子空间是的全体的使TSVTVSTTnnT阶矩阵设有n例7),,,,(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA为中的变换定义其中)(,21xTyRaaanniiii),(,)(RxAxxTn.为线性变换则T,,Rban设则)(baT)(baAAbAa);()(bTaT)(kaT)(kaAkAa).(akT量空间所生成的向的象空间就是由又nT,,,,21},,,{)(212211RxxxxxxyRTnnnn.0间的解空就是齐次线性方程组的核AxSTT三、小结要证一个变换是线性变换，必须证保持加法和数量乘法，即,TTT.kTkTTT若证一个变换不是线性变换，只须证不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．TT.,)(,,332132133213并分析其几何意义的一个线性变换是试证明定义对任意的一个变换是设RaaaaaaRaaaR思考题思考题解答(略)证明:几何意义.)(,面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将xOy.反射变换镜面变换或者这个变换也称为