42三角分解

一、矩阵的三角分解1.定义,,.CCCnnnnnnALRALRAA设如果存在下三角矩阵和上三角矩阵使得则称上述分解为的,或称可作三三分解角分解角定义1§4.2矩阵的三角分解例如0012A1100101220011.1101下三角上三角一般情况下分解不唯一.2.可逆矩阵的三角分解的条件,CnnnAAAn设则可作三角分解的充分顺序必要条件是的个主子式全不为零.定理1此定理说明：并不是所有可逆矩阵都可以作三角分解.例如：01,.10A矩阵就不能做三角分解定理1的证明必要性,CnnnA设可作三角分解即1111121212222212nnnnnnnnlrrrllrrALRlllr11221122det,nnnnAlllrrr由于00,0,1,2,,.iiiilrin故11121111122122212222,,0,0ALRAALRRAALLR将进行分块得1111111111AALRLRkLkR其中是的顺序主子阵，和分别是和的阶顺序主子阵，且和分别是下三角矩阵阶与上三角矩阵.111111,ALR由分块乘法得1111221122det0,1,2,,.kkkkAlllrrrkn故An即的个顺序主子式全不为零.充分性：An设的个顺序主子式全不为零.1111111,nAaa当时，结论成立.kkkkknkALRLR设对结论成立，即,其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵，且由detdetdetkkkkkkALRLR0知,与均可逆.11,111111,110,10kkkTkkkkkkkTTTkkkkkkkknkAcAraLRLcrRarRLc则当时，有1,1,11,11,,,,,,,.TTkkkkkkkkcaaraaA其中故由归纳假设知可以作三角分解3.不可逆矩阵的三角分解,1,2,,,CnnkrAAArkr前设且的顺序主子式不为零，即0,则可作三个角分解.定理2此定理的条件仅是充分的，例如：0012000011.121101AA矩阵的秩为1,不满足定理的条件，但=有三角分解定理2的证明,CnnrrrrrrrAArAALRLR设由于的前个顺序主子式不为零，由定理1知可作三角分解,即,且和分别是可逆的下三角矩阵与下三角矩阵.122122,,rrAAAAArankArankArAnrr将进行分块得由于所以的后行可由前行线性表示，即存在矩阵212212,,,CnrrrBABAABA使得从而11212120,00rrrrrnrrLAARLAABLIBABAA即可作三角分解.二、几类特殊的三角分解1.Doolittle分解1,,CnnAAALRLRA设如果可分解为其中是的下三角矩阵称为矩阵，是上三角矩阵，则称上述分解为的Doo对角元素为单littl位下三角e分解;定义2LRA如果是下三角矩阵，是单位上三角矩阵，则称上述分解为的Crout分解.Remarks1112121222121111nnnnnnrrrlrrALRllrA的Doolittle分解单位下三角矩阵1112121222121121nnnnnnlrrllrALRlllA的Crout分解单位上三角矩阵,DoolitteCrout.nnnAAAC设且的顺序主子式不为零，则的分解与分解存在唯一且定理32.LDR分解,,CnnAAALDRLRDDRLA设如果可分解为其中是矩阵，是矩阵，是矩阵，则称上述分解为单位下三角单位上三角的对角分解.定义31121212212111111nnnnndrrldrALDRlldA的LDR分解1211,,,,,,2,3,,.CnnnnnkkkAAnALDRDdiagdddddkn121设且的个顺序主子式,,,不为零，则存在唯一的分解.且对角矩阵的元素满足定理4证1122112210,1,2,,.,,,,,,,,kLnnRnnAALRknDdiaglllDdiagrrr由定理，可作三角分解的充分必要条件是记11,LRLLRRLRDDALRLDDDDR由和可逆知与也可逆，从而ALDR即存在分解.再证唯一性,ALDRALDRLDR设有两个分解111,LLDRRD于是111,,LLIDRRDI上式左边是单位下三角矩阵，右边是单位上三角矩阵，故11,.LLRRDD从而111,,RRRRIDDI又由是单位上三角矩阵知,,,.LLRRDDALDR故即的分解是唯一的1212212221222222,,,00,00kkkkALDRAALDRRAALLDR将进行分块得,,,,,,,1,2,,,kkkkkkkkALDRALDRkALDRkn其中分别是的阶顺序主子阵，则有12,1,2,,.kkkkkkkkkALDRLDRdddkn于是111,,2,3,,.kkkddkn故3.正定Hermite矩阵的三角分解,,,CCnnnnHAGAGGA设如果存在下三角矩阵使得则称上述分解为的Cholesky分解.定义4定理5Hermite,,,CCnnnnHAGAGGA设是正定的矩阵则存在下三角矩阵使得即可作Cholesky分解.证Hermite,0,1,2,,,4CnnkAAkn设是正定的矩阵则的顺序主子式由定理知，12,0,1,2,,.inALDRLRddDddin其中是单位下三角矩阵，是单位上三角矩阵，是对角矩阵，且,,HHHHAAAARDL因所以1122,,HHHnnHLDRLRALDLddddLLddGG由分解的唯一性知，所以12nddGLd其中是下三角矩阵.三、三角分解的紧凑计算格式,CnnnAAAn设且可作三角分解，即的个顺序主子式不为零.111211112121222212221212Doolittle,11,1nnnnnnnnnnnnAALRaaarrraaalrrAaaallr由的分解得11111111111,2,,,2,3,,,,1,,;2,,,1,2,,;2,,.jjiikkjkttjkjtkikittkikkktarjnalrinalrrjkknknalrlrikknkn于是11121111212122221222121211,1nnnnnnnnnnnnaaarrraaalrrAaaallr1111111111Doolittle,1,2,,,,2,3,,,,,1,,;2,,,1,1,2,,;2,,.jjiikkjkjkttjtkikikittktkkArajnalinrralrjkknknlalrikknknr故得的分解的紧凑计算格式为:具体计算时顺序如下：11121312122232313212nnnnnnrrrrlrrrllllr第1框第2框第n框例1213121Doolittle243A求矩阵的分解.解Doolittle由分解的紧凑计算格式得：1111121213132,1,3,rarara3121213111111,1,2aallrr222221122323211351,,22ralrralr323231122212,lalrr3333311332231.ralrlrDoolittle100213151100.222121001AA故得的分解为1111111111Crout,1,2,,,,2,3,,,,,1,,;2,,,1,1,2,,;2,,.iijjkikikittktkkjkjkttjtkkAlainarjnllalrikknknralrjkknknl类似可得的分解的紧凑计算格式：