42函数的凸性与拐点课件

第四章导数的应用4.2函数的凸性与拐点x0y1x2x定义上有定义，在设],[)(baxf，都有若],[,)1(21baxx，2)()(22121xfxfxxf）；上的凸函数（是称],[)(baxf4.2.1凸（凹）函数的概念注意：（1）曲线在切线的上方。（2）切线的斜率增加。，，都有若2)()(2],[,)2(212121xfxfxxfbaxx）．上的凹函数（是称],[)(baxfx0y1x2x注意：（1）曲线在切线的上方。（2）切线的斜率减少。上的凸性。在研究函数],0[sin)(xxf2121],0[,xxxx，解：2cos2sin2sinsin2)()(21212121xxxxxxxfxf22sin2121xxfxx)220(12xx）。上的凹函数（是函数],0[sin)(xxf例1.方法一：用定义）内可导，（在上连续，在设babaxf,],[)(）．的凸函数（上是，则单调递增内若在],[)()(),()1(baxfxfba4.2.2函数凸性的充分条件和必要条件定理7(一阶充分条件)）．的凹函数（上是，则单调递减内若在],[)()(),()2(baxfxfba，任取],[,21baxx，设bxxa21，令2210xxx由拉格朗日中值定理，，),(),,(202011xxxx，使),(),)(()()(),,(),)(()()(2020220201101101xxxxfxfxfxxxxfxfxf)2)](()([)(2)()(1212021xxffxfxfxf)2(2)()(2121xxfxfxf）．的凹函数（上是],[)(baxf）．上的凹函数（是，则单调递减内）：若在证明（],[)()(),(2baxfxfba证明：,)('xf0）；上的凸函数（是，则内若在],[)(0)(),()1(''baxfxfba）．上的凹函数（是，则内若在],[)(0)(),()2(''baxfxfba定理8(二阶充分条件)上连续，在设],[)(baxf内二阶可导，),(ba方法二：用一阶充分条件（一阶导数的单调性）内单调减少，在解：)0(cos)(xxf）。上的凹函数（是函数],0[sin)(xxf上的凸性。在研究函数],0[sin)(xxf例1.(不等号顺时针转90度,观察形状)证明：，任取],[,21baxx，不妨设21xx，令2210xxx，记02120210hxxxxxx由泰勒公式得:，，),(2)()()()(20121002'''xxhfhxfxfxf，，),(2)()()()(01222001'''xxhfhxfxfxf证明）．上的凹函数（是，则内若在],[)(0)(),()2(''baxfxfba两式相加,得，2210212)()()(2)()(''''hffxfxfxf，，已知：0)(0)(21''''ff，且02h)(2)()(021xfxfxf从而，，即2)()(22121xfxfxxf）．上的凹函数（是故],[)(baxf上的凸性。在研究函数],0[sin)(xxf例1.方法三：用二阶充分条件（二阶导数的符号）0sin)()0(xxf内，，在解：）。上的凹函数（是函数],0[sin)(xxf的凸性。研究函数xxxfarctan2)(例2.,112)(2xxf解：22)1(2)(xxxf0)1(2)(022xxxfx时，当。上的凹函数是)(]0,(arctan2)(xxxf0)1(2)(022xxxfx时，当）。上的凸函数（是),0[arctan2)(xxxf例3..2)(21,,11bababa证明：为正数时、当证明：，令xxf)(，),0(x，2)1()(xxf0)(,10xfx时，当）。上的凸函数（是),0()(xf,00ba，2)()(2bfafbaf有.2)2(baba即.2)(211baba时，等号成立。当ba，则1)(xxf是且上有二阶导数，上连续，在设)(),(],[)(xfbabaxf.0)(),(],)[1(xfbaba上有上的凸函数，则在定理9函数凸（凹）的必要条件（注意与定理8的区别）.0)(),(],)[2(xfbaba上有上的凹函数，则在(不等号顺时针转90度,观察形状)证明证明：),min(,xbaxbax，取）（设],[],[,0bahxhxh时当上的凹函数，是],[)(baxf)()2()]()([21xfhxhxfhxfhxf0)(2)()(xfhxfhxf即hhxfhxfhxfhxfhxfhh2)()(lim)(2)()(lim0200)(])()(lim)()(lim[2100xfhxfhxfhxfhxfhh.0)(),(],)[2(xfbaba上有上的凹函数，则在,],[)()1(上二阶可导的凸函数是baxf上的任两点，是与],[0baxx))((')()(000xxxfxfxf则4.2.3凸函数的性质及其几何意义,],[)()2(上二阶可导的凹函数是baxf上的任两点，是与],[0baxx))((')()(000xxxfxfxf则几何意义：凸函数处曲线在切线的上方。几何意义：凹函数处曲线在切线的下方。x0y1x2xx0y1x2x(可用来证明不等式)曲线和切线的关系）性质(1证明证明:由泰勒公式20000)(!2)())((')()(xxfxxxfxfxf,],[)()2(上二阶可导的凹函数是baxf上的任两点，是与],[0baxx))((')()(000xxxfxfxf则,],[)(上二阶可导的凹函数是baxf,0)(xf))((')()(000xxxfxfxf例4..131||1xxexx时有不等式证明).3()1()(:1xexxfx令证明1)()(1xexxf成立）仅,1(0)1()(1xexxfx，上是凹函数，在)(]11[)(xf由性质1，当-1x1时，有)1)(1()1()(xffxf0)1(,0)1(ff0)(xf,3)1(1xexx即0)1(x又.131xxex,],[)(1上二阶可导的凸函数是）（baxf的子区间，是],[],[21baxx上任一点，是],[21xxx)()()(21211212xfxxxxxfxxxxxf则,],[)(2上二阶可导的凹函数是）（baxf的子区间，是],[],[21baxx上任一点，是],[21xxx)()()(21211212xfxxxxxfxxxxxf则几何意义：凸函数，弦在弧的上方。几何意义：凹函数，弦在弧的下方。x0y1x2xx0y1x2x性质2(曲线和割线的关系)上任一点，是],[21xxx],,[),(21baxxx证明：由性质1，))((')()(11xxxfxfxf))((')()(22xxxfxfxf（1）（2）:)2()1(121212并整理得xxxxxxxx)()()(21211212xfxfxxxxxfxxxx证明,],[)(2上二阶可导的凹函数是）（baxf的子区间，是],[],[21baxx)()()(21211212xfxxxxxfxxxxxf则12122121xxxxxxxx，令121则不等式凸函数的Jensen弧（曲线）弦则且,2211xxx,],[)(1上二阶可导的凸函数是）（baxf的子区间，是],[],[21baxx上任一点，是],[21xxx)()()(22112211xfxfxxf则,],[)(2上二阶可导的凹函数是）（baxf的子区间，是],[],[21baxx上任一点，是],[21xxx)()()(22112211xfxfxxf则性质2’x0y1x2xx0y1x2x．证明不等式22222121xxxx考察变形后的不等式：．222221221xxxx证明：，令2)(xxf，则02)(xf）（凸可知)(xf，，且2121,xxRxx，2)()(22121xfxfxxf，即222221221xxxx，时当21xx成立．”“证毕．．则22222212121xxxxxx例5.qbpaqpbqapqpba2)(,,都是正数，试证明和设bqpqaqppbqpqaqpp111分析：即证：)0(1)(xxxf证明：令)0(02)(,1)(32xxxfxxf））上的凸函数（，是0[)(xf由性质2，)()]()([1qpqbpafbqfapfqpbqpqaqppbqpqaqpp111即：例6.的凸性．讨论函数例3)(.7xxf解:，23)(xxf，xxf6)(内，在)0,(，0)(xf；）（是凹函数)(xf内，在),0(，0)(xf．）（是凸函数)(xfxy0拐点点，上凸性发生改变的分界连续曲线)(xfy称之为曲线的拐点．定理10（拐点的必要条件）.0)()())(,()(000xfxfyxfxxfy的拐点，则必有为曲线二阶可导，如果点设函数4.2.4拐点注意：不存在的点或拐点发生在)(0)()1(xfxf同．拐点与极值点的提法不)2(例如:,2xy为极值点；0x,3xy为拐点．)0,0(的拐点。）必是曲线，则点（内异号，和右邻域的左邻域在内有二阶导数，如果心邻域的某去连续，在在点设函数)()(),(),()(),(ˆ)(0000000000xfyxfxrxxxrxxxfrxNxxxfy定理11（拐点存在的充分条件）的凸性区间及拐点．讨论函数23583)1(2027)(xxxf解:xxxf43)1(352027)(32xx43)1(493243)1(3249)(31xxf3131)1(4)1(36xx，令0)(xf，得点9x不存在，处)(1xfx不存在0）凹（）凸（83）上凸（40513．，拐点)40513,9()83,1(x)1,(1)9,1(9),9()(''xf)(xf例8.小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法.思考题设)(xf在),(ba内二阶可导，且0)(0xf，其中),(0bax，则,(0x))(0xf是否一定为曲线)(xf的拐点？举例说明.因为0)(0xf只是,(0x))(0xf为拐点的必要条件，故,(0x))(0xf不一定是拐点.例如:,)(4xxf),,(x0)0(f但)0,0(并不是曲线)(xf的拐点.解:不一定.一、填空题：1、若函数)(xfy在（ba,）可导，则曲线)(xf在(ba,)内取凹的充要条件是____________.2、曲线上____________的点，称作曲线的拐点.3、曲线)1ln(2xy的拐点为__________.4、