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4.6曲线的凹凸性和拐点当前讲授一、什么是曲线的凹与凸及拐点从直观上看，图中左侧的函数曲线称为凹的，右侧的函数曲线称为凸的．思考：函数，，有没有凹凸性？函数是直线，不存在凹与凸，是凹的，在内是凸的，在内是凹的．定义：设函数在区间I内可导，如果是递减的，则称曲线在区间I上是凸的（上凸的）；如果是递增的，则称曲线在区间I上是凹的（下凸的）；曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点．在下面这张图中．曲线在AB段是凸的，在BC段是凹的．凹与凸的分界点B就是拐点．二、曲线的凹凸性与二阶导数的关系定理一：若在内有，则曲线在上是凹的；若在内有，则曲线在上是凸的；两侧二阶导数异号的点是拐点．可简记为：曲线凹（开口向上）曲线凸（开口向下）定理二（拐点的必要条件）：若点是曲线的拐点，且处二阶导数存在，则必有．反之，二阶导数为零的点未必是拐点．例如函数，在内其二阶导数处处为零，但曲线无拐点．此外，二阶导数不存在的点也可能是拐点．例如的二阶导数，在内，曲线是凹的；在内，曲线是凸的，所以原点是拐点，但在处二阶导数不存在．三、求曲线凹凸区间及拐点的步骤拐点隐藏在那些二阶导数为0和二阶导数不存在的点中．判定曲线凹凸性及求拐点的步骤：（1）求定义域（如果题目指定了区间，则此步骤可省略）．（2）求二阶导数为零的点及不存在的点．（3）列表分析．以上述点划分定义域，在各子区间确定的符号，从而确定曲线的凹凸区间，进而确定拐点．注意：拐点是曲线上的点，应表示为的形式．典型例题例4.6.1判定曲线的凹凸性．提示解定义域：，，在内，，曲线在内是凹的．例4.6.2讨论曲线的凹凸性，并求出它的拐点．提示解定义域：令，得二阶导数为零的点为，．无二阶导数不存在的点．列表分析0－0－0+不对应拐点对应拐点可见：曲线在区间上是凸的，在区间上是凹的．有一个拐点，此拐点的横坐标，纵坐标，即曲线的拐点为．例4.6.3已知的拐点为，且在处有极值．求a、b、c．提示解：，∵是函数的极值点，且函数在该点可导，∴必然是驻点，于是有，即……（1），∵点为拐点，且函数在该点二阶可导，∴在处函数的二阶导数必然为零，于是有，即……（2）又即……（3）联立求解方程（1）（2）（3），即可解得：，，．