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－1－26．3实际问题与二次函数（一）一、课前预习(5分钟训练)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac－b2的化简结果是（）A.aB.－aC.0D.12.抛物线y=－2x2－8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为____________．3.两数之和为6，则之积最大为．____________二、课中强化(10分钟训练)1.抛物线y=x2+2x+1的顶点是（）A.(0,1)B.(－1,0)C.(1,0)D.(－1,1)2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212xx,那么铅球推出后最大高度是______m，落地时距出手地的距离是____m．3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？－2－4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？三、课后巩固(30分钟训练)1.已知二次函数y=x2－6x+m的最小值为1，那么m=_____________．2.抛物线y=21x2－6x+21，当x=_________，y最大=____________．3.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v0t－21gt2，其中h是上升高度，v0（m/s）是初速度，g(m/s2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h与t的函数图象.（1）求v0，g；（2）几秒后，物体在离抛出点25m高的地方？图26－3－1－1－3－4.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨销售价x(万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y（吨）与每吨销售价x(万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W（万元），请写出W与x之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？6.某经营商购进一种商品原料7000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？－4－7.在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）…25242322…销售量y（千克）…2000250030003500…（1）在如图26－3－1－2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x(元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？图26－3－1－28.与同学们合作，调查你周围的销售活动，自拟一道利用二次函数求解何时获得最大利润的实际应用题．－5－参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac－b2的化简结果是（）A.aB.－aC.0D.1解析：最大值为0，即4ac－b2=0，且a＜0；由此得|a|+4ac－b2=－a．答案：B2.抛物线y=－2x2－8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为____________．解析：先求出抛物线的顶点坐标，顶点坐标为（－2，11），所以其关于y轴对称点的坐标为（2，11）.答案：（2，11）3.两数之和为6，则之积最大为．____________解析：设其中一个为x，积为y,则有y=x(6－x)，可求得最大值是9．答案：9二、课中强化(10分钟训练)1.抛物线y=x2+2x+1的顶点是（）A.(0,1)B.(－1,0)C.(1,0)D.(－1,1)解析：用配方法或公式法计算求解，y=（x+1）2．答案：B2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212xx,那么铅球推出后最大高度是______m，落地时距出手地的距离是____m．解析：运用函数的顶点及与坐标轴的交点来解决本题．顶点为(4，3)；y=0，代入y=121x2+32x+35，解得x1=10,x2=－2（舍去）．答案：3103.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？－6－解：（1）设降价x元，则(40－x)(20+2x)=1200，解得x1=20,x2=10．∴为了扩大销售，减少库存，每件衬衫应降价20元．（2）商场平均每天盈利y=(40－x)(20+2x)=－2(x－15)2+1250，即当x=15时，商场平均每天盈利最多．4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：y＝(80+x)(384－4x)＝30720+64x－4x2＝－4(x－4)2＋30784.当x＝4（台）时，y有最大值为30784件．答：（1）y＝30720+64x－4x2．（2）增加4台机器，可以使每天的生产总量最大；最大生产总量是30784件．三、课后巩固(30分钟训练)1.已知二次函数y=x2－6x+m的最小值为1，那么m=_____________．解：∵4364m=1,∴m=10.答案：102.抛物线y=21x2－6x+21，当x=_________，y最大=____________．解析：由公式求得顶点坐标来解决．y=21x2－6x+21，得x=aab=6，y=abac442=3.故当x=6时，y最大=3．答案：633.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v0t－21gt2，其中h是上升高度，v0（m/s）是初速度，g(m/s2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h与t的函数图象.（1）求v0，g；（2）几秒后，物体在离抛出点25m高的地方？－7－图26－3－1－1解：（1）由图象知抛物线顶点为（3，45）且经过（0，0）、（6，0），把（6，0）、（3，45）代入h=v0t－21gt2得，,459213,03621600gvgv解得.10,300gv∴h=－5t2+30t．（2）当h=25时，－5t2+30t=25，∴t2－6t+5=0．∴t1=1，t2=5，即经过1秒和5秒后，物体在离抛出点25米高处4.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．解：设应提高售价x元，利润为y元．依题意得y=(10－8+x)(100－10×5.0x)，即y=－20(x－23)2+245，a=－200，所以y有最大值．当x=1.5，即售价为10+1．5=11.5时，y有最大值为245元．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨销售价x(万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y（吨）与每吨销售价x(万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W（万元），请写出W与x之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？解：（1）设所求的一次函数为y=kx+b,由题意得－8－.2,4.26.0bkbk解之，得k=－1,b=3．所以y=－x+3．（2）W=（x－0．5）y=－x2+3.5x－1.5,当销售价为１.7５元时销售利润是1.56万元．6.某经营商购进一种商品原料7000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？解：设日销售单价为x元，日均获利为y元，（1）y=(x－30)[60+2(70－x)]－500=－2x2+260x－6500=－2(x－65)2+1950,所以当x=65时，y最大=1950．（2）当日获利最大时，单价为65元/千克，日均售60+2（70－65）=70，总获利为1950×（7000÷70）=195000（元）；单价为70元时，日均售60千克，全部售完需7000÷60≈117（天），获利为：（70－30）×7000－117×500=221500（元），所以该批货物单价最高获利多，多获利221500－195000=26500（元）．7.在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）…25242322…销售量y（千克）…2000250030003500…（1）在如图26－3－1－2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x(元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？－9－图26－3－1－2解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数．设y＝kx＋b，∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，∴.245002,250002bkbk解之，得.50014,500bk∴y＝－500x＋14500（x≥0）．（2）P＝（x－13）·y＝（x－13）·（－500x＋14500）＝－500x2＋21000x－188500＝－500（x－21）2＋32000．∴P与x的函数关系式为P＝－500x2＋21000x－188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．8.与同学们合作，调查你周围的销售活动，自拟一道利用二次函数求解何时获得最大利润的实际应用题．略．