4不定积分2

4不定积分4.1不定积分的概念4.2换元积分法4.3分部积分法4.4几种特殊类型函数的积分4.5积分表的使用前面讨论了如何求一个函数的导函数问题。本章讨论相反的问题，即要寻求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一。4.1不定积分的概念与性质4.1.1不定积分的定义4.1.2基本积分公式4.1.3不定积分的几何意义4.1.4不定积分的性质4.1.1不定积分的定义设F(x)和f(x)是定义在区间I上的函数，F(x)可导。若F’(x)=f(x)，x∈I则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。定义4.1例4.1.1(1)∵(sinx)’=cosx，∴sinx是cosx的一个原函数；(2)∵(arctanx)’=1/(1+x2)，∴arctanx是1/(1+x2)的一个原函数；(3)∵(arctanx+C)’=1/(1+x2)，∴arctanx+C是1/(1+x2)的又一个原函数；1.一个函数在什么条件下有原函数？2.如果一个函数有原函数，那么它有多少原函数？3.如果在区间I上F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的其它原函数与F(x)有什么关系？4.如果一个函数有原函数，那么它的原函数如何求？如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导的函数F(x)，使得F’(x)=f(x)，x∈I。定理4.1(原函数存在定理)连续函数一定有原函数如果F’(x)=f(x)，x∈I，则[F(x)+C]’=f(x)，x∈I。如果f(x)有一个原函数，那么f(x)有无限多个原函数。如果在区间I上F(x)是f(x)的一个原函数，Φ(x)是f(x)的另一个原函数，则F’(x)=f(x)，Φ’(x)=f(x)，[Φ(x)-F(x)]’=Φ’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0，Φ(x)-F(x)=C0,(C0为某确定常数)Φ(x)=F(x)+C0这表明Φ(x)与F(x)只相差一个常数。因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可表示f(x)的任意一个原函数。f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族:｛F(x)+C│F’(x)=f(x),－∞＜C＜＋∞｝在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。定义4.2(不定积分的定义)(indifiniteintegral)记为：dxxf)(∫：积分号x：积分变量f(x)：被积函数f(x)dx：被积表达式C：积分常数求函数F(x)=1／(2x+1)的导数，然后按定义4.2写出相应不定积分表达式。)()()(为任意常数CCxFdxxf如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即例4.1.1解：)()12(2)(2xfxxF由定义4.2，有Cxdxx121])12(2[2求例4.1.2解：.2dxx由于(x3/3)’=x2,所以，x3/3是x2的一个原函数。因此，.332Cxdxxydxx26Cyx32？ydyx26Cxy223！两要素：“被积函数、积分变量”例4.1.3求当x0时，由于(lnx)’=1/x，所以lnx是1/x在(0,+∞)内的一个原函数。故.1dxx解：),0(,ln1xCxdxx当x0时，由于[ln(-x)]’=(-1)/(-x)=1/x，所以ln(-x)是1/x在(-∞,0)内的一个原函数。故)0,(,)ln(1xCxdxx综上所述，有.0,ln1xCxdxx4.1.2基本积分公式dx01)2)dxxdxx13)4),ln1Caaxdxex5)6)xdxsinxdxcos7),C)1(,111Cx,lnCxdxax,Cex,cosCx,sinCx8)xdx2sec9)xdx2csc10)dxx211dxx21111)12)xdxxtansec13)xdxxcotcsc,arccos112Cxdxx,cot112Cxarcdxx,tanCx,cotCx,arcsinCx,arctanCx,secCx.cscCx4.1.3不定积分的几何意义设曲线通过点(0,0)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。例4.1.4设所求曲线的方程为y=f(x)，依题意，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为解：,2)(xxf可见，f(x)是2x的一个原函数。,22Cxx因为其中过点(1,5)的那条应满足0=02+C,C=0,于是，所求曲线为y=x2.则,)(2Cxxf函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线(intergralcurve)。当积分曲线y=F(x)沿y轴上下平移时，就得到一个曲线族，称为f(x)的积分曲线族(familyofintergralcurves)。4.1.4不定积分的性质由不定积分的定义和导数的性质，可知下述关系：(1)dxxf)(dxxfd)(dxxF)()(xdF(2));(,)()(为非零常数kdxxfkdxxkf(3).)()()]()([dxxgdxxfdxxgxf),(xf;)(dxxf,)(CxF.)(CxF求下列不定积分;例4.1.5(2)dxxxx)58(762.817538873Cxxxdxxdxxdxx76258(1)dxxx2dxx25Cx1251251.7227Cx(3)dxxx23)1(dxxxxx223133dxxxx)133(2dxxdxxdxxdx21133.1ln3322Cxxxx(4)dxexx2dxex)2(Ceex)2ln()2(Cexx2ln12(5)dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx(6)dxxx)1(tan2dxxx)2(sec2.232tan23Cxxxdxdxxxdx2sec2(7)dxx2sin2dxx)cos1(21dxx)cos1(21.)sin(21Cxx(8)dxxx2cos2sin122dxx2sin2xdx2csc4.cot4Cx例.dsincos2cos22xxxx求解dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122.tancotCxx.下面看另一种解法例.dsincos2cos22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos22221vvv.2sin2Cx有何想法？两个解法答案不同，你例7.sin1dxx求解d)sin1)(sin1(sin1sin1dxxxxxxxxxdcossin12xxxxxdcossindcos122.sectanCxx想想它是谁的导数？怎么做？利用平方差公式例8.d||xex求解,0时当x,dd1||Cexexexxx,0时当x,dd2||Cexexexxx,故必是连续函数由于一个函数的原函数,)(lim)(lim2010CeCexxxx,221从而即有CC.0,,0,2d||xCexCexexxx.)(为积分常数C4.2换元积分法4.2.1第一换元积分法4.2.2第二换元积分法换元积分法(integrationbysubstitution)(简称换元法)是将复合函数求导法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到的复合函数积分法。4.2.1第一换元积分法引例考虑积分：dxxI1当其中的积分变量不是自变量x，而是中间变量u=φ(x)时，I1的积分形式是否不变?由于一阶微分具有形式不变性，故duuI2)1(,111Cx,111Cu积分公式与积分变量的符号无关事实上:公式首先看复合函数的导数)(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy),())(()))(((xxFxF)),((则可微的复合函数xFy它的微分形式为xxxFxFd)())(()))((d(),()(则记ufuF,d)(d)())(()))((d(uufxxxfxF看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?,111Cuduu积分公式与积分变量符号无关:xxdsinsin2,sin313Cxxdxxcossin2xxdsinsin2,sin313Cxdxxex2222dxex,2Cexdxxex22221dxex,212Cexxdx2cosxxd22cos21.2sin21Cxdxxex122)1(212xdex,12Cex定理4.2(第一换元积分法)设F(u)是f(u)的原函数，u=φ(x)可导。dxxxf)()]([则)()]([xdxfduufux)()()(xu.)]([CxFCuF)(例4.2.1(1)xdx2cos2求下列不定积分;xxd22cosuduuxcos2Cusin.2sin2Cxxu(2)dxx231)23(23121xdxduuux12123Culn21.23ln2123Cxxudxexx1(3)xdex2.2Cex(4)dxxx21)1(12122xdxCx232)1(23121.)1(31232Cxxdxtan(5)dxxxcossinxdxcoscos1.coslnCxCxxdxcoslntanCxxdxsinlncot同理，(6)xdx2sindxx)2cos1(21(7)xdx3sinxdxxsin)cos1(2xdxcos)cos1(2xxdxdcoscoscos2.cos31cos3Cxx(8)xdx4cosdxx22cosdxx222cos1dxxx2cos2cos21412dxxx24cos12cos2141例解.dcossin310xxx计算,dcosd,sin于是则令xxuxuuuuxxxd)1(dcossin210310uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxx例解.cosd4xx计算,cosddtan2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2dxxa221(9)dxaxa22111axdaxa2111.arctan1Caxa(10)dxxa221axdax211.arcsinCaxCaxadxxaarctan1122Caxdxxaarcsin122dxxa221(11)dxxaxaa1121dxxadxxaa1121