4反证法

数学2012级初等几何研究第1页共8页第一章平面几何解题的基本方法第二节反证法与同一法教学目的：了解形式四条基本规律同一律，矛盾律，排中律和充足理由律；理解反证法，同一法的依据，掌握反证法，同一法证题的步骤，会运用反证法、同一法证明一些几何问题。教学提纲：我们在证明数学问题时，有些情形不易甚至不能直接证明．这时，不妨证明它的等效命题成立，因而也能间接地达到目的，这种证法称为间接证法．在证明平面几何问题时常采用间接证法．反证法、同一法是两种典型的间接证法．在介绍反证法和同一法之前先简单介绍形式逻辑中的四个基本规律：同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。1形式逻辑的四条基本规律同一律：是思维准确性的规律。它要求在同一条件（时间、场合、关系）下对同一思维对象（客观事物）保持同一认识。其逻辑形式是“A＝A”或者“A就是A”。正确思维首先是准确思维，准确性取决于确定性，在同一条件下，对通过同一对象的认识所作出的概念、判断和推理，必须是确定的，始终如一的。矛盾律是思维一贯性、和谐性的规律。它要求在同一条件下，对思维对象必须一贯地保持同一认识，对同一事物必须作出和谐相容的判断，不能前后矛盾和自相矛盾。其逻辑形式是“是A就不是A”或者“A不能是B又是B”。命题运算律“0qq”就是体现矛盾律的。矛盾律是同一律的引申，它用否定的形式表达同一律的内容，同一律说：A就是A；矛盾律说“A与A不能同真.因此矛盾律是从否定的方面来肯定同一律.排中律是思维明确性的规律，它要求在同一条件下，对思维对象的两个互相矛盾的认识和判断，作出明确的选择，必须肯定其中一个或否定其中一个。其逻辑形式是“或是A，或是A”即“A与A必有一真”。命题运算律“1qq”是体现排中律的。数学2012级初等几何研究第2页共8页排中律要求人们的思维要有明确性，避免模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥.排中律要求A与A必有一真，若其中之一为假，则另一必为真.，是寻找正确判断的逻辑基础，当直接证明某判断为真有困难时，只要证明与其相矛盾的判断为假即可，故在数学证明中，常常运用排中律“由假推真”，它是反证法的依据。充足理由律是思维根据性的规律，是指在思维过程中，任何一个真实的判断，必有它的充足理由，才能确认它正确，其逻辑形式是：“因为A，所以有B”。2反证法一般地说，在证明一个命题时，正面不易入手，就从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，如果由此假设(必须使用这个条件)进行严格推理，推导出的结果与已知条件、公理、定理、定义、假设等之一相矛盾，或者推出两个互相矛盾的结果，就证明了“结论反面成立”的假设是错误的，从而得出结论的正面成立．这种证题方法就叫做反证法．有些问题，从正面证相当困难，采用反证法却易于奏效，原因很简单，要证命题“若A则B”，已知条件只有A，采用反证法时，增添了一个条件B(非B)，事情当然好办一些．况且反证法无须专门去证某一特定的结论，只要寻出矛盾即可．从理论上讲，B(更确切地说是BA)是假的，由它出发可以导出任何结论，特别是可以导出B．通常的做法是寻出一个荒谬的结果：矛盾(从而B一定是错的)．所以，反证法也称为归谬法．例1求证在同一平面内，同一条直线的垂线与斜线必相交.已知：如图1，AC⊥AB，BD与AB斜交.求证：AC与BD相交.证法1假设AC，BD不相交，则AC∥BD.由题设AC⊥AB，则BD⊥AB.这与题设“BD与AB斜交”矛盾.从而假设不成立，故原命题成立.证法2假设AC，BD不相交，则AC∥BD，从而∠1＝∠2，又AC⊥AB，则∠1＝90°，所以∠2＝90°，这与直线的斜线（即斜交）的定义矛盾，从而假设不成立，故原命题成立.CDD'图1AB数学2012级初等几何研究第3页共8页证法3假设AC，BD不相交，则AC∥BD，由题设AC⊥AB，又作BD’⊥AB，则BD’∥AC，又AC⊥AB，则BD’与BD重合；再由题设BD与AB斜交，而BD’与AB垂直相交，所以BD’与BD不重合。于是，BD’与BD即重合又不重合，自相矛盾，从而假设不成立，故原命题成立.点评：在上面的例子中，由反证假设，证法1推出了与已知条件矛盾的结果，证法2推出了与已知定义矛盾的结果，证法3推出了两个互相矛盾的结论，都达到了证明原命题的目的．从上面的讨论可以看出，反证法的逻辑原理如下：AB与BA是互相矛盾的两个判断，根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假．在BA的假设下，通过符合逻辑的推理，出现了矛盾，故BA假．又根据排中律(在同时间同关系之下，矛盾命题既不能同真，也不能同假，必定一真一假)，两个互相矛盾的判断不能都假，必有一真，因为BA假，故AB真．2.1反证法证题的步骤反证法证题通常是如下三个步骤：(1)反设．作出与结论相反的假设，通常称这种假设为反证假设．(2)归谬．利用反证假设和已知条件，进行符合逻辑的推理，推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果．根据矛盾律，即在推理和论证的过程中，在同时间、同关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断，可知反证假设不成立．(3)得出结论．根据排中律，即在同一论证过程中，命题P和命题非P有且仅有一个是正确的，可知原结论成立．2.2反证法的分类（1）单一归谬法如果命题结论的反面只有一种情况，则从反证假设之后，推出矛盾的证法称单一归谬法．图2POCDAB数学2012级初等几何研究第4页共8页例2圆内不是直径的两条弦，不能平分.证法1假定AB和CD互相平分与P，连接OP.因为P是AB的中点，所以OP⊥AB；又因为P是CD的中点，所以OP⊥CD.于是经过点P，有两条直线AB，CD都与OP垂直，这与公理相矛盾，从而假设是错误的，即AB，CD不可能互相平分.于是原命题正确.证法2假设这两非直径的弦AB，CD互相平分于P，则AP=BP，CP=DP.由相交弦定理可知：PDCPPBAP，则22CPAP，CPAPPDCPPBAP，P到圆上A，B，C，D四点的距离相等，则点P与圆心O重合，那么AB，CD都经过圆心，即AB，CD都是直径，这与题设“不是直径的两条弦”相矛盾.从而AB，CD互相平分.（2）穷举归谬法如果结论的反面不止一种情况，则需在每一种情况下一一推出矛盾，从而证明原结论成立，这种方法称为穷举归谬法.例3在两个三角形中，两边及其中大边所对的角对应相等，则两个三角形全等.已知：如图3，在ABC和A’B’C’中，AB=A’B’，AC=A’C’，且ACAB，∠B=∠B’.求证：'.''CBAABC（ssA）分析：运用三角形全等的判定条件：sss；AAs；AsA；sAs，此题的条件是ssA.为了证明这个命题，根据已知条件，只要证明BC=B’C’即可.证明：采用反证法.假设BC≠B’C’，则有两种情况：BCB’C’,或BCB’C’.（1）若BCB’C’，则可在BC上取一点C’’，使得BC’’＝B’C’，连AC’’，因为AB=A’B’，∠B=∠B’，BC’’＝B’C’则'.''''CBAABC于是AC’’=A’C’；但是已知AC=A’C’，从而AC=AC’’，三角形ACC’’是一个等腰三角形，则∠C=∠AC’’C’.数学2012级初等几何研究第5页共8页又∠AC’’C∠B，即有∠C∠B，于是ABAC，这与已知条件“ACAB”矛盾。所以BC不大于B’C’.（2）若BCB’C’.同样可推出ABAC.也与题设矛盾，所以BC不小于B’C’.由（1）、（2）可知，BC=B’C’.于是在'.''CBAABC和中有AB=A’B’，BC=B’C’，CA=C’A’，所以'.''CBAABC命题得证.2.3何时用反证法原则上说，由假设命题结论的反面成立推出矛盾比直接证明原命题更容易时，就应该用反证法．证题的实践告诉我们，尽管用反证法证明的命题难以精确归类，但在以下几种情况下，可采用反证法．（1）某些基本定理在一个学科开始时，由于可以用到的定理等依据甚少，从已知出发能推出的结论甚少，不易找出直接推证关系时，常采用反证法．例4在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．已知：如图4，在同一平面内，直线AB，CD和EF，且AB∥EF，CD∥EF．求证：AB∥CD．证明在同一平面内，假设AB不平行于CD，则AB与CD相交，设其交点为P．已知AB∥EF，CD∥EF，这就是说过P点有两条直线AB和CD都平行于直线EF，显然，这与平行公理(欧氏几何)矛盾，从而假定AB不平行于CD是错误的．由此可知，AB∥CD．证毕．又如，“两直线相交只有一个交点．…“两直线平行则同位角相等”等基本定理均可采用反证法证明．（2）某些定理的逆定理例如定理：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角较大．其逆定理就可采用反证法证明．（3）命题的结论涉及“否定”的论断例5凸四边形的两条对角线分别为a，b．求证：该四边形至少有一边的长度不超过数学2012级初等几何研究第6页共8页2221ba.证明假设这个凸四边形ABCD的各边都大于l（l=2221ba）.分别以A、C为圆心，l为半径作圆，则AC＝a，如图5，设E、F是这两圆的交点，AC与EF交于M点，则EF=2EM=22222211()=2()244alabab＝BD.另一方面，∵BA、BC、DA、DC都大于l=2221ba，∴点B、D都在这两圆之外.设AC、BD相交于点N，（1）若AN≤AM，则BD大于BD与圆A相交的弦GH，而GH大于或等于EF，即有BDEF；（2）若ANAM，则BD大于BD与C相交的弦，它又大于或等于EF，即也有BDEF.这与前面所证得的“BD=EF”相矛盾.所以这四边形中必有一条边的长度不大于2221ba.（4）有些命题的结论中涉及“至多……”或“至少……”这种形式，也常用反证法.例6如图6，D、E、F分别是ABC三边（端点除外）BC、CA、AB上任意一点.求证：AEF，BDF，CDE中至少有一个面积不大于ABC的面积的41.证明：假设这些三角形的面积都大于41ABCS.则由CefSCDEsin21，CfaedSABCsin))((21，得CfaedCefsin))((2141sin21，∵0sinC，∴))((41faedef，同理有))(((41cbfaab，))((41edcbcd.所以2223)()()()41(edcbfaabcdef.○1又deed4)(2，即有2)(41edde，同理有2)(41cbbc，2)(41faaf.caebfdBACFEDGHNFEMACDB数学2012级初等几何研究第7页共8页于是2223)()()()41(edcbfaabcdef○2显然○1与○2矛盾.所以原命题得证.（5）命题结论以“唯一”，“有且只有一个”等形式出现时（6）某些问题正面处理情况较多、较复杂时，用反证法可以“直捣黄龙”，尽快求解.例7设凸五边形ABCDE的各边相等，并且∠A≥∠B≥∠C≥∠D≥∠E.求证：这五边形是正五边形.分析：由于本题需证∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.正面处理这串不等式不太容易，而用反证法只需证明其中一对角不等即可.证明：假设∠A＞∠E，如图，ABE，EAD均为等腰三角形，并且腰AB=AE=ED，从而有BEAD.另一方面，在ABD与EBD中，有AB=DE，BD=BD，ADBE，则∠ABD＜∠BDE.○1又在BCD中，BC=CD，则∠DBC=∠CDB.○2○1＋○2得∠ABC∠CDE，即有∠B∠D，这与题设“∠B≥∠C≥∠D”矛盾，所以假设错误，故∠A≤∠E，又∠A≥∠E，从而∠A＝∠E.由此有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.即这个五边形是正五边形.2.4怎样用好反证法用反证法证题时，首先必须在分清条件和结论的基础上，正确作出与命题结论相反的反证假设．有些命题，有若干个命题与其等价，在采用反证法时，要寻找对于反面结论更简单、更容易入手的一个作反证假设