2东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系,充分条件,必要条件教师版

A东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A1pq命题及其关系,充分条件,必要条件(教案)A一、知识梳理：（阅读教材选修2-1第2页—第13页）1、四种命题（1）、命题是可以可以判断真假的语句，具有“若P,则q的形式；（2）、一般地用P或q分别表示命题的条件或结论,用或分别表示P和q的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。2、充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p，则q”为真命题，记，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。3、判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法pqpqqppqA东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A2（1）、p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；（2）、p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；（3）、p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A⊆B，则p是q的充分条件若B⊆A，则p是q的必要条件;（2）、若A=B，则p是q的充要条件；（3）、若A≠B，且A⊆B，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A⊈B，且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究探究一：四种命题的关系与命题真假的判断例1；设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真)注:否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等或不等高。假命题。（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0。真命题；否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0。真命题。A东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A3qp探究二:充分必要条件的判定例3：“”是“直线相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B；解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要条件①都存在时②中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。探究三：利用充分、必要条件解决待定系数问题例4：已知p：|1−x−13|≤2,q:x2−2X+1−m2≤0(m0),若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。解:P:-2≤x≤10;q:1-m≤x≤m+1由题意可知：P是q的充分不必要条件，所以(1−m−21+m10)所以，{m|3m9}探究四：充要条件的探究与证明例5求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.分析：（1）讨论a的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围.解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=12,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,21m03)2()2(013)2(ymxmmyxm与直线12m12m12m12,kk12.1kk12,kkA东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A4方程只有一个负根。当a0时，Δ=4（1-a）0,方程有两个不相等的根，且1a0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则110aa∴a0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。三、方法提升1、判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题是同真同假，2、判断命题充要条件的三种方法（1）、定义法（2）、等价法：（3）、利用集合间的包含关系3、（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；A东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A5（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。四、思想感悟：。五、课后作业：一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题(A)A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A2.“|x-1|2成立”是“x(x-3)0成立”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件A东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案002A6C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由|x-1|2得-1x3.由x(x-3)0得0x3.因为“-1x3成立”⇏“0x3成立”,但“0x3成立”⇒“-1x3成立”.故选B.评析:如果p⇏q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件.3.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=1时,直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直;当直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直时,有a=1.故选C.评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4.x24的必要不充分条件是()A.-2≤x≤2B.-2x0C.0x≤2D.1x3解析:x24即为-2x2,因为-2x2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2x2,所以x24的必要不充分条件是-2≤x≤2.选A.5.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.”答案:B