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4基本体的投影基本体中平面体、曲面体的形成、分类及其投影作图。基本体轴测投影的形成、分类和作图。直线的投影基本体投影图的识读和尺寸标注。在基本体表面取点、取线的空间分析和投影作图。本章主要内容立体的分类平面立体——立体表面全部由平面所围成。最基本的平面立体有棱柱和棱锥(图a、b）。曲面立体——立体表面全部由曲面或曲面与平成所围成。最基本的曲面立体有圆柱、圆锥、球、环及一般回转体等(图c～f）。在工程制图中，通常把棱柱、棱锥、圆柱、球、环等立体称为基本几何体。分析一般的房屋形状，不难看出，都是由一些几何体组成。如图4.1所示的房屋是由棱柱、棱锥等组成；如图4.2所示的水塔是由圆柱、圆台等组成。我们把这些组成建筑形体的最简单但又规则的几何体，叫做基本体。根据表面的组成情况，基本体可分为平面体和曲面体两种。图4.1房屋形体的分析图4.2水塔形体分析本章内容4.1平面体的投影4.2曲面体的投影4.3基本体轴测图的画法4.1平面体的投影表面由若干平面围成的基本体，叫做平面体。作平面体的投影，就是作出组成平面体的各平面的投影。平面体有棱柱、棱锥、棱台等。4.1.1棱柱的投影如图4.3所示，有两个三角形平面互相平行，其余各平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱。图4.3三棱柱当底面为三角形、四边形、五边形……时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。图4.4正三棱柱的投影如图4.4所示为一横放的正三棱柱，即我们常见的两坡面屋顶。分别分析它们的各个面，各条线及可见性。现以正三棱柱为例来进行分析。4.1.2棱锥的投影由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥。如图4.5所示为三棱锥。根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥和五棱锥等。图4.5正三棱锥图示正四棱锥底面为水平面，它的H面投影反映实形，V面及W面投影积聚为一直线。前后两面为侧垂面，W面投影积聚为一直线;H、V面投影为类似形。左右两面为正垂面，V面投影积聚为一直线;H、W面投影为类似形。以四棱锥为例来进行分析用平行于棱锥底面的平面切割棱锥，底面和截面之间的部分称为棱台，如图4.7所示。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……切得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台……。现以正四棱台为例进行分析，如图4.8所示。平面体的投影，实质上就是其各个侧面的投影，而各个侧面的投影实际上是用其各个侧棱投影来表示，侧棱的投影又是其各顶点投影的连线而成。图4.7四棱台图4.8四棱台的投影平面体的投影特点是：平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。投影图中的线条，可能是直线的投影，也可能是平面的积聚投影。投影图中线段的交点，可能是点的投影，也可能是直线的积聚投影。投影图中任何一封闭的线框都表示立体上某平面的投影。当向某投影面作投影时，凡看得见的直线用实线表示，看不见的直线用虚线表示。在一般情况下，当平面的所有边线都看得见时，该平面才看得见。4.1.3平面体投影图的画法①已知四棱柱的底面为等腰梯形，梯形两底边长为a、b，高为h，四棱柱高为H，作四棱柱投影图的方法如图4.9所示。②已知六棱锥的底边长为L，高为H，作六棱锥投影图的方法如图4.10所示。③已知三棱台的底边为等边三角形，其中上底边长为b，下底边长为a,高为H,作三棱台的投影图如图4.11所示。图4.9四棱柱投影图的画法图4.10六棱锥投影图的画法图4.11三棱台投影图的画法4.1.6平面体的尺寸标注平面体只要标注出它的长、宽和高的尺寸，就可以确定它的大小。尺寸一般注在反映实形的投影上，尽量集中标注在一两个投影的下方和右方，必要时才注在上方和左方。一个尺寸只需要标注一次，尽量避免重复。正多边形的大小，可标注其外接圆周的直径。平面体的尺寸标注如表4.1所示。XYZXZ平面体的尺寸标注ZYY2X2XX1Y1平面体的尺寸标注表4.1平面体的尺寸标注四棱柱体三棱柱体四棱柱体三棱锥体五棱锥体四棱台4.1.4平面体投影图的识读①棱柱的三个投影，其中一个投影为多边形，另两个投影分别为一个或若干个矩形，满足这样条件的投影图为棱柱体的投影。②棱锥的三个投影，一个投影外轮廓线为多边形，另两个投影为一个或若干个有公共顶点的三角形，满足这样条件的投影是棱锥体的投影。③棱台的三个投影，一个投影为两个相似的多边形，另两个投影为一个或若干个梯形，满足这样条件的投影为棱台的投影。4.1.5平面体表面上的点和直线平面体表面上点和直线的投影实质上就是平面上的点和直线的投影，不同之处是平面体表面上的点和直线的投影存在着可见性的判断问题。1、位于棱线或边线上的点(线上定点法)——当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。2.位于特殊位置平面上的点(积聚性法)——当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。3.位于一般位置平面上的点(辅助线法)——当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线(辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线)，求出辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法。平面立体上点和直线的投影的求解方法4.1.5.1棱柱体表面上的点和直线棱柱体表面上的点如图4.12所示。图4.12棱柱体表面上的点三棱柱体表面上直线的投影如图4.13所示。图4.13三棱柱体表面上直线的投影4.1.5.2棱锥体表面上的点和直线三棱锥体表面上点的投影如图4.14所示。图4.14三棱锥体表面上点的投影四棱锥体表面上直线的投影如图4.15所示。图4.15四棱锥体表面上直线的投影4.2曲面体的投影基本体的表面是由曲面或由平面和曲面围成的体叫做曲面体。一条母线（运动的直线或曲线）绕一轴线（直线）回转而形成的曲面,称为回转曲面;由回转面所围成的立体，称为回转体。曲面体有圆柱、圆锥、圆台和球体等。圆锥体球体圆柱体圆台4.2.1圆柱体的投影直线AA1(母线)绕着与它平行的直线OO1（导线或轴线）旋转，母线AA1在施转过程中任一位置留下的轨迹称为素线。因此圆柱面也可以看作是由无数条与轴平行且等距的素线的集合，如果把AA1和轴OO1连成一矩形平面，该矩形平面绕OO1轴旋转的轨迹就是圆柱体。aaaA1AOO1a母线转向轮廓线一、投影的形成图4.16圆柱体导线（轴线）矩形上下两边AO和A1O1绕OO1旋转时所成的轨迹是圆平面。因此，圆柱体是由两个互相平行且相等的平面圆（即顶面和底面）和一圆柱面所围成。顶面和底面之间的距离为圆柱体的高。二、圆柱体的投影特点如右图所示为一圆柱体，该圆柱的轴线垂直于水平投影面，顶面与底面平行于水平投影面。其投影如图所示。1、顶面和底面水平面上的投影为圆，反映顶面和底面的实形，且底面的投影重合在一起。2、顶面和底面在正立面和侧立面上投影都积聚为平行于OX轴和OY轴的直线，其长度为圆柱的直径，在同一个投影面上两个积聚投影之间的距离为该圆柱的高。3、正面投影是一个矩形线框，左右两条竖直线分别是圆柱面上最左和最右的两条素线的投影。这两条素线也将圆柱面分为前一半和后一半，其水平投影分别为下半个圆周和上半个圆周。4、侧面投影中矩形线框另两条竖直线分别为圆柱体上最前和最后两条素线的投影。5、正面投影和侧面投影为大小相同的矩形，矩形的高等于圆柱体的高，矩形的宽等于圆柱体的直径。二、圆柱体的投影特点图4.22圆柱投影图的画法三、圆柱体投影图的画法4.2.2圆锥体的投影图4.18圆锥体直线SA绕与它相交的另一直线SO旋转，所得轨迹是圆锥面，SO称为导线，SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置的轨迹为圆锥面的素线，如SB。圆锥体如图4.18所示。一、圆锥体的形成圆锥面也可看作由无数条相交于一点并与导线SO保持一定角度的素线的集合。如果把母线SA和导线SO连成一直角三角形SOA，该平面绕直角边SO旋转，它的轨迹就是正圆锥体。正圆锥体的底面为直线AO绕O点旋转所形成的平面圆。从顶点S到底面圆的距离为圆锥体的高。二、圆锥体投影的特点1、在水平面上的投影反映实形，在正立投影面上和侧立投影面上都积聚为平行于OX轴和OY轴的直线，其长度等于底圆的直径。2、正面投影和侧面投影为大小相同的等腰三角形，等腰三角形的高等于圆锥体的高，等腰三角形的宽等于圆锥体的直径。图4.19圆锥体的投影图4.23圆锥投影图的画法三、圆锥投影的画法图4.20圆台的投影圆锥被垂直于轴线的平面所截，所得截面为一圆，该圆与底面圆之间的部分称为圆台，圆台是圆锥体的特例。四、圆台的投影图4.24圆台投影图的画法五、圆台投影的画法4.2.3球体的投影如图4.21(a)所示，圆周曲线绕着它的直径旋转，所得轨迹为球面，该直径为导线，该圆周为母线，母线在球面上任一位置时的轨迹称为球面的素线，球面所围成的立体称为球体。球体的投影为三个直径相等的圆。如图4.21所示。图4.21球的投影图4.25球体投影图的画法表4.2曲面立体的尺寸标注圆柱体圆锥体圆台球体4.2.7曲面体的尺寸标注4.2.5曲面体投影图的识读圆柱体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的矩形，且矩形的长度等于圆的直径。满足这样三个投影图的立体是圆柱。圆锥体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的等腰三角形，且三角形的底边长等于圆的直径，满足这样要求的投影图是圆锥体的投影图球体的三个投影都是圆，如果满足这样的要求或者已知一个投影是圆且所注直径前加注字母“S”则为球体的投影。4.2.6曲面体表面上的点和直线曲面体表面上的点和平面体表面上的点相似。为了作图方便，在求曲面体表面上的点时，可把点分为两类：特殊位置的点，如圆柱、圆锥的最前、最后、最左、最右、底边，球体上平行于三个投影面的最大圆周上等位置上的点，这样的点可直接利用线上点的方法求得。其他位置的点可利用曲面体投影的积聚性、辅助素线法和辅助圆等方法求得。1.线上定点法(从属性法)——当点或线位于曲面立体的轮廓素线上时，可利用“线上定点(从属性)法”求解。2.积聚性法——当点或线所在的立体表面有积聚性时，可利用“积聚性法”求解。3.辅助素线或辅助纬圆法——当点或线所在的曲面立体表面无积聚性时，则必须利用“辅助线法”求解，如位于圆锥(圆台)的锥面上的点或线，可利用辅助素线或辅助纬圆法；而位于圆球的球面上的点或线可利用辅助纬圆法。曲面立体上点和直线的投影求解4.2.6.1圆柱体表面上的点和线正圆柱体表面上点的投影如图4.26所示。图4.26正圆柱体表面上点的投影[例4.1]已知圆柱体上线段MKN的正面投影，求作MKN的其他投影(如图4.27所示)。图4.27圆柱体表面上线段的投影4.2.6.2圆锥体表面上的点和线素线法圆锥体上任一素线都是通过顶点的直线，已知圆锥体上一点时，可过该点作素线，先作出该素线的三面投影，再利用线上点的投影求得。如图4.28(d)所示。辅助圆法(纬圆法)如图4.28(c)、图4.29所示。图4.28圆锥体表面上的点的投影图4.29正圆锥体表面上线段的投影4.2.6.3球体表面上的点和线球体表面上点和线投影的作图方法可以利用辅助圆法求得。[例4.3]如图4.30，已知球体表面上点A和点B的正面投影，作点A和点B的另两个投影。图4.30球体表面上点的投影图4.31垫座的正投影图和轴测图4.3基本体轴测图的画法比较为了便于读图，在工程图中常用一种富有立体感的投影图来表示形体，作为辅助图样，这样的图称为轴测投影图，简称轴测图。4.3.1轴测投影概述如图4.32所示，在作形体投影图时如果选取适当的投影方向将物体连同确定物体长、宽、高三个尺度的直角坐标轴，同平行投影的方法一起投影到一个投影面（轴测投影面）上所得到的投影，称为轴测投影。应用轴测投影的方法绘制的投影图叫做轴测图。4.3.1.1轴测投影的概念图4.32正方体的正投影和轴测投影