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【本讲教育信息】一.教学内容：第五章：相交线与平行线1、2、3小节二.教学要求（一）结合具体情境，了解邻补角、对顶角的概念，知道对顶角相等；了解垂线、垂线段等概念，知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离；（二）了解平行线的概念，知道平行公理及其推论，会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；会识别同位角、内错角、同旁内角，掌握两直线平行的判定方法和性质；（三）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；在观察、操作、想象、说理、交流的过程中，发展空间观念，初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识，激发学习空间与图形的兴趣。三.重点及难点（一）重点1.理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，相交线中的同位角、内错角、同旁内角的认识和区分；2.理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；3.理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；4.掌握两直线平行的判定方法，学会利用直线平行的条件说理和证明；5.掌握平行线的性质，综合运用平行线的性质和判定证明和计算。（二）难点1.正确地在图形中确定同位角、内错角和同旁内角；2.运用垂线的性质解决实际问题；3.理解平行线的概念、平行公理和平行公理的推论；4.灵活利用直线平行的条件证明两直线平行；5.综合运用平行线的性质和判定证明和计算。四.课堂教学（本章知识结构框图）【知识要点】（一）相交线1.相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。图1图2图32.对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。3.对顶角的性质对顶角相等。4.邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。（二）垂线1.垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。图4如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）∵AB⊥CD（已知）（2）∵∠1＝90°（已知）∴∠1＝90°（垂线的定义）∴AB⊥CD（垂线的定义）2.垂线的性质（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。图5图6如图5所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。4.垂线的画法（工具：三角板或量角器）5.画已知线段或射线的垂线（1）垂足在线段或射线上（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上（三）“三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。（四）平行线1.平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。名称公共点个数在同一个平面内重合直线相交直线平行直线不在同一个平面内异面直线2.平行线的表示方法平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。3.平行线的画法4.平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5.平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。【典型例题】例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。例2.如图8所示，指出图中的同位角、内错角和同旁内角。分析：观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分AD、BC被EB所截，AC、BC被EB所截，AD、BC被AC所截，EB、BC被AC所截，EB、AC被BC所截来讨论。解答：（1）AD、BC被EB所截，同位角有：∠B和∠EAD，同旁内角有：∠B和∠BAD；（2）AC、BC被EB所截，同位角有：∠EAC和∠B，同旁内角有：∠B和∠BAC；（3）AD、BC被AC所截，内错角有：∠C和∠DAC；（4）EB、BC被AC所截，内错角有：∠C和∠EAC，同旁内角有：∠C和∠BAC；（5）EB、AC被BC所截，同旁内角有：∠B和∠C。说明：在复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重也不遗漏。例3.如图9所示，看图填空。（1）∵∠A＝∠3，∴∥，根据是；（2）∵∠2＝∠4，∴∥，根据是；（3）∵∠5＝，∴EF∥，根据是；（4）∵∠5＝，∴BC∥，根据是；（5）∵∠6＋∠C＝180°，∴∥，根据是。分析：对于第（1）、（2）、（5）题，首先判断已知的两角是同位角、内错角，还是同旁内角，然后根据平行线的判定方法判定被截的两直线平行；对于第（3）、（4）两题，因为条件、结论都不完整，故需要综合考虑。解答：（1）EF∥AC，同位角相等，两直线平行；（2）EF∥AC，内错角相等，两直线平行；（3）∠C，AC，同位角相等，两直线平行；（4）∠4，ED，内错角相等，两直线平行；（5）EF∥AC，同旁内角互补，两直线平行；说明：本例主要考查的是平行线的判定方法，所以要对平行线的几种判定方法理解透彻，要判定哪两条直线平行，一定要辨明是哪两条直线被第三条直线所截。例4.（1）如图，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明。（3）若将点E移至图所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明。（4）若将点E移至图所示位置，情况又如何？（5）在图中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D又有何关系？（6）在图中，若AB∥CD，又得到什么结论？图图图图图分析：解题关键是过E点作AB（或CD）的平行线，利用平行线的判定和性质解决问题，后面地推广主要是学会把复杂的图形化归为基本图形。解答：（1）过E点作EF∥AB∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF∵AB∥CD，∴EF∥CD∴∠FED＝∠D∵∠BED＝∠BEF＋∠FED∴∠BED＝∠B＋∠D（2）AB∥CD，证明略，辅助线添法同（1）；（3）∠B＋∠D＋∠E＝360°；（4）∠E＝∠B－∠D；（5）过F作AB的平行线，把图分成两个基本图形图，可用（1）中的结论证明得出∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D；（6）由图中基本图形推广可证出说明：已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置，或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给学生创造性的思考留下了极大的空间。本题训练学生综合应用平行线的判定和性质。（五）小结1.理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；2.理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；3.理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；4.掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；5.能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题1.如图1，直线a、b相交，∠1＝120°，则∠2＋∠3＝（）A.60°B.90°C.120°D.180°图1图2图32.如图2，要得到a∥b，则需要条件（）A.∠2＝∠4B.∠1＋∠3＝180°C.∠1＋∠2＝180D.∠2＝∠33.如图3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，同位角相等4.如图4，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝（）A.180°B.270°C.360°D.540°图4图55.如图5所示，∥，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝（）A.20°B.40°C.50°D.60°6.已知：如图6，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A.60°B.80°C.100°D.120°图7图8二.填空题7.如图7，CB⊥AB，∠DBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝________度，∠CBD的补角是_________度。8.如图8，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。9.如图9，当∠1＝∠_____时，AB∥CD；当∠D＋∠_____＝180°时，AB∥CD；当∠B＝∠_____时，AB∥CD。图9图1010.