3-4矩阵秩与向量组秩的关系

第四节矩阵秩与向量组秩的关系111212122212nnmmmnaaaaaaAmnaaa设是的矩阵按行分块得到12mA12,,iiinaaaAii其中是的第行构成的向量i=1,2,m将该矩阵按列分块得到12nA12jjjmjaaa其中An是的第j列构成的向量j=1,2,称为A的行向量组1,mn1，称为A的列向量组定义9矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？先看一个例子112231000010000010000001000000ababBb此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵4RB显然B的列向量组1246,,,线性无关，并且311225112233aabbb故1246,,,是B的列向量组的极大无关组。B的列秩＝B的秩＝r一般的，对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵，有B的列秩＝B的秩＝4引理设矩阵A经过行初等变换化为B，分别记为：12(,,...,)nAααα12,,...,nBβββ之间有完全相同的线性关系，即则A的列向量组与B的列向量组1122...ααα0nnxxx当且仅当1122...nnxxxβββ0证因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，即有相同的线性相关性。于是知列向量组12,,...,nααα与12,,...,nβββ1122...nnxxxβββ0同解1122...nnxxxααα0与定理5矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。证设矩阵ijmnaA()rrAB是与之对应的B-型阵设A的r阶非零子式0rD下证A的列向量组的秩为rrD所在的r列构成的mr矩阵为12,,...,rBβββ显然()rrB即B的r个列向量线性无关，而A的任意r+1列所构成的矩阵的秩小于等于()rrA所以A的任意r+1列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以A的列秩等于r。故：A的秩=A的行秩=A的列秩()()TrrAA的列向量组，又TA因为A的行向量组就是例1设向量组121,2,5,3,4,1,2,3,TTαα35,4,19,15,Tα410,1,16,15Tα求该向量组的极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示。解：以1234,,,αααα为列构造矩阵A，并利用初等行变换把A化成行简化型阶梯矩阵B1451007142102244660153045213141253145102141521916331515rrrrrrA231711,22151451007142102244660153045rrr14510012301230123324214510012300000000rrrr1241032012300000000rr1032012300000000B所以()()2rrAB故列向量组的秩为2，即列向量组的极大无关组含有2个向量，显然，121,0,0,0,0,1,0,0TTββ为矩阵B的列向量组的极大无关组则121,2,5,3,4,1,2,3TTαα是向量组1234,,,αααα的极大无关组，且显然有：31241232,23αααααα对于这道题我们可以直接用数学软件MATLAB来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示%求向量组的秩、极大无关组A=[145-10;-2-14-1;5-2-1916;-3315-15];rref(A)%************运行结果************ans=10-32012-300000000课后作业：P147：8（4）并试用数学软件MATLAB来解次题