3.1.1方程的根与函数的零点教学设计(人教A版必修1)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com《方程的根与函数的零点》教学设计一、教材、学情分析1、本节在教材中的地位和作用本节内容是人教版高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，揭示方程与函数之间的本质联系，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用。2、学生已有的认知基础是初中学习过二次函数定义、图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数的图象与性质．二、教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。（3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。三、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理难点：探究并发现零点存在性定理及其应用四、教法学法以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台五、教学过程1、创设问题情境，引入新课问题1求下列方程的根（1）0322xx（2）0122xx（3）0322xx（4）062lnxx师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。第4小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？建构函数零点概念探究发现零点存在性定理演练反馈知识内联单化互动交流小结创设问题情境金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com一元二次方程0322xx0122xx0322xx二次函数322xxy122xxy322xxy函数图像图象与x轴交点方程的根师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系问题3：完成表格，并观察一元二次方程)0(02acbxax的根与相应二函数)0(2acbxaxy图象与x轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。设计意图:采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。2、建构函数零点概念函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。思考：（1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表acb42000方程)0(02acbxax的根函数)0(2acbxaxy的图像[来源:金太阳新课标资源网]图象与x轴的交点金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com扬，不正确学生给予提示与鼓励。设计意图:为了帮助学生正确理解并掌握零点概念问题设置3个问题（1）强调：零点指的是一个实数（2）揭示函数xf的零点0x00xf并把概念符号化（3）让学生从数与形两个方面去寻找零点，既能让学生巩固零点的概念又经历三个等价的过程，从而很自然得出3个命题的等价关系，让学生体会到由具体到抽象的数学思想知识的延伸，得出等价关系(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程0xf的根即函数xfy的零点，可以把解方程0xf的问题转化为函数xfy图像与x轴的交点问题。设计意图:方程问题为函数的子问题，正是高中数学函数与方程思想的重要体现。另外通过此知识点教学，让学生再次感悟与体会基中蕴含着化归与转换、数形结合的思想3、探究发现零点存在性定理问题：如何求方程lnx+2x-6=0的根？思考：如何求函数f(x)=lnx+2x-6的零点呢？师生互动:在建立了函数零点概念和得到三个等价关系基础上让学生再次尝试解决问题1中第（4）小题，求方程根的问题等价转化为寻找函数图像与x轴交点的横坐标的问题，利用几何画板作出函数xf的图像让学生直观感知图像与x轴有一个交点即函数xf有一个零点。然后根据本节的教学重点引导学生从数的角度探索连续函数在某个区间内存在零点的判定方法来解决，引出探究设计意图:学了新知识，尝试解决开始的疑问，引出新的探究，提高学生的探究欲望。（1）探究：观察二次函数322xxxf的图像，我们发现322xxxf在区间1,2上有零点。计算2f和1f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点吗？在区间4,2上是否也具有这种特点呢？金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com师生互动:让学生先自主探究再小组合作交流，鼓励学生进行大胆的猜想。让学生自己任意画几个函数图像验证自己的猜想设计意图:一个好的猜想将会推动数学的发展，因此在数学教学中培养学生猜证结合的思想方法是至关重要的，为培养二十一世纪具有自主创新能力的人才奠定基础。探究的过程再次经历特殊到一般的思想（2）发现零点存在性定理如果函数xfy在（1）区间ba,上的（2）图像是连续不断的一条曲线，并且有（3）0bfaf，那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,使得0cf这个c也就是方程0xf的根。思考1：你能说出应用零点存在性定理应注意哪几个条件？思考2：如何判断闭区间上零点存在且唯一？师生互动:借助以上4个图形，引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间；（2）图像连续；（3）端点函数值异号。注意强调区间中零点不一定唯一。通过观察图（3）（4）完成思考2通过图（4）B点的运动让学生明白零点存在性定理不可逆。（若函xf在ba,内有零点，不一定得出0)(bfaf的结论）设计意图:引导学生理解函数零点存在性定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理内有零点，在则12012xfff内有零点，在则42042xfff内有零点在则baxfbfaf,0(3)(4)猜想02-13-341xyBababa(2)(1)金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。零点存在性定理应用例：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数？思考：试判断这个函数的单调性并加以证明。师生互动:给学生充分的时间让学生先独立思考再合作交流，教师利用几何画板作出函数图象让学生直观感知零点的存在性及零点存在的大概区间，学生利用计算器列表找出大概的区间，利用函数的单调性判断零点存在且唯一。设计意图:本道例题让学生体会如何运用零点存在性定理及函数图象和函数基本性质（特别是函数单调性）在确定零点中的作用，学生用计算器得出大致区间，既培养学生的估算能力也为下节课用二分法求方程近似解做好准备，思考题为了进一步让学生体会：用零点存在性定理判断零点存在，用单调性证明零点唯一。4、演练,反馈，知识内化(1)、函数xxxf2ln的零点所在的大致区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.1,1e和（3，4）D.,e(2)若方程0122xax在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围（）A.a-1B.a1C.-1a1D.0a1师生互动:学生自主完成，遇到自己无法解决的问题，可以与同学合作交流，教师不断给学生总结解题的方法，培养学生善于归纳反思能力设计意图:通过两道练习让学生学会如何使用零点存在性定理，体会函数与方程思想，同时教师对学生出现的问题及时解决，新知识的接受需要不断深化和完善的过程。5、归纳小结请你谈谈本节课的收获？（1）、函数零点的概念（2）、三个等价关系（3）、如何应用零点存在性定理判断函数的零点存在性以及个数师生互动:让学生自己对本课进行小结，教师对学生的小结给予肯定并补充完善。设计意图:共同反思，优化学生的认知结构，培养学生自觉独立学习习惯，提升在学习中反思小结的能力。布置作业，学以致用必做题:x12345678f(x)xoOOOOy金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com1、求函数：y=-x2+6x+7的零点2、方程521xx的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25+b2。设计意图：必做题巩固学生所学的零点概念及零点存在性定理的应用等新知识，将学生的新知识向外延伸，达到掌握本质注重联系。选做题：求证：xxxf2ln在2,1e上存在唯一零点.设计意图：由于学生学力水平的差异，注意分层教学，为学有余力的学生提供更多更大的发展空间。反思与体会：现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地。因此教学设计过程：逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。