3.1.1_不等关系与不等式_一元二次不等式的解法教案

3.1.1不等关系与不等式（一）一、教学目标1、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.3.了解不等式的基本性质2、过程与方法1.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力2.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性3、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察归纳2.通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量二、教学重难点重点：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题难点：用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.三、教具准备多媒体、实物投影仪四、教学过程1.创设情境，导入新课情境1.多媒体展示图片资料情境2.多媒体展示图片资料（视频袋上的营养成分）问图片给出了那些信息问日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？（举例）情境3.展示图片：公路上的限速标志等2.推进新课现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？例1．某天的天气预报报道早晨最低温度为7℃，白天的最高温度为13℃2.三角形ABC的两边之和大于第三边3.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零问如何表示不等关系？（用不等式或不等式组来表示.）问什么是不等式呢?用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．问如何把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来如：7℃≤t≤13℃，AB+ACBC，a是一个非负实数，a≥0问2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？3.问题探究问题1设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.[活动与探究]请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.引导：借助图形来表示不等量关系问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?设杂志的定价为x元，总收入为xx)2.01.05.28(万元.问是否有同学还有其他的解题思路？设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N*)，销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.问题3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?4.练习1、用不等式表示下列情况（1）a与b的和是负数（2）x的平方加上x的2倍大于10（3）a的1/3与2的差不超过b（4）y的3倍与4的差不小于x课后练习p741、25.深入探究问题1、请学生回忆等式有哪些性质？问题2、实数大小的比较？（考察两个实数的差）问题3、不等式有哪些性质？（实数的8个性质）例:一直ab0,c0,求证c/ac/b课本P74练习3五、课堂小结1.生活中存在的大量不等关系2.用不等式表示不等关系3.不等式的基本性质六、课后作业第84页习题3.1A组4、5.第2课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若abacbc（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0abcacbc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若,0abcacbc2.讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c2）()()0acbcab，∴acbc．实际上，我们还有,abbcac，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）,abbcac（2）abacbc（3）,0abcacbc（4）,0abcacbc2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,abcdacbd；（2）0,0abcdacbd；（3）0,,1;nnnnabnNnabab。证明：1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．①∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．②由①、②得a＋c＞b＋d．2）bdacbdbcbdcbcaccba0,0,3）反证法）假设nnba，则：若nnnnabababab这都与ba矛盾，∴nnba．[范例讲解]：例1、已知0,0,abc求证ccab。证明：以为0ab，所以ab0,10ab。于是11ababab，即11ba由c0，得ccab3.随堂练习11、课本练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）26＋26；（2）（3－2）2（6－1）2；（3）251561；(4)当a＞b＞0时，log21alog21b答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜[补充例题]例2、比较(a＋3)（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0∴（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4）随堂练习21、比较大小：（1）（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2（2）2256259xxxx与4.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论5.评价设计【板书设计】§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】知识与技能理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】理解三个二次之间的关系。【教学过程】（一）课题导入上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。某同学要把自己的计算机接入因特网，比如说在我们周围现有两家ISP公司电信和网通可供选择。假如电信公司每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；网通公司的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用？分析问题：假设一次上网x小时，则电信公司收取的费用为1.5x（元），网通公司收取的费用为20)35(xx（元），如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则xxx5.120)35(，整理得：一元二次不等式模型：052xx…………①设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型（互联网的收费问题），引入新课。（二）讲授新课1、一元二次不等式的定义象052xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。2、探究一元二次不等式052xx的解集怎样求不等式052xx的解集呢？探究：一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看xxxf5)(2和052xx这是什么？我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有着怎样的关系呢？容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx，二次函数有两个零点：120,5xx。于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：当x0，或x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0，即250xx；当0x，或5x时，函数图像与x轴相交，此时，0y，即052xx当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0，即250xx；通过上述分析，我们可知，不等式052xx的解集是}50|{xx，从而解决了开始时提出的问题，所以我们可知当一次上网在5个小时之内（含5个小时）的时候，选择电信比选择网通费用要少。当超过5个小时的时候，选择网通费用较少。因此，我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。（3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：cbxax20（a0）或cbxax20（a0），怎样确定一元二次不等式cbxax20与cbxax20的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）二次函数ycbxax2与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程cbxax2=0的根的情况；（2）二次函数ycbxax2的开口方向，也就是a的符号。总结讨论结果：（1）二次函数ycbxax2（a0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程cbxax2=0的判别式acb42三种取值情况(Δ0，Δ=0，Δ0）来确定，因此，要分三种情况讨论；（2）a0可以转化为a0。归纳总结：一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：判别式acb42000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或两根之外abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx两个之间例题讲解：例1、解下列关于x的不