32.高考数学导数

第1页共12页高考数学导数及其应用怎么考【考点解读】1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。4．体系整合5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义两函数和、差、积、商的导数复合函数的导数基本导数公式导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值第2页共12页热点一：导数的几何意义函数y=f(x)在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。【错题分析】[错例1]（2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程。误解：f(x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率'kf(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A(0，16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：设切点坐标3000(,3)Mxxx，则切线的斜率200'()33kfxx，切线方程20(33)16yxx，又因为点M在切线上，所以32000033(3)16xxxx得02,916.xyx切线方程为【典型题例】例1:设P0(x0，y0)为曲线C:y=x3(x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn(xn，yn)(n∈N)。（1）求出过点P0的切线方程。（2）设xn=f(n)(n∈N)，求f(n)的表达式；（3）求01lim()nnxxx的值。点拨本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数解析（1）y′=3x2，∵P0(9，93)，∴切线P0Q1的斜率020x=xx=9k=y'|=3x|=243，∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243(x－9)，即243x－y－1458=0.（2）过Pn(xn，yn)的切线的斜率为kn=3x2n，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，即y－x3n=3x2n(x－xn).令y=0得第3页共12页x=xn－233nnxx=32x，即Qn＋1的横坐标为32xn，又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴Pn＋1的横坐标xn＋1=32xn，由于x0=9，∴数列nx是公比为32的等比数列∴xn=x0·(32)n=9×(32)n，则f(n)=9×(32)n，（n∈N）（3）01lim()nnxxx=3219=27点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1．已知曲线y=sinx,x(0,)在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标为3(,)32。2．若a＞0，f(x)=ax2＋bx＋c，曲线y=f(x)在点P(x，f(x0))切线倾角为[0，4]，则P到y=f(x)对称轴距离为（B）A、[0，a1]B、[0，a21]C、[0，|ab2|]D、[0，|ab21|]3．（预测题）(1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△=(－1)2＋4a＞0，所以a＞－41设此两交点为(α，α2)，(β,β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.两切线交点为(x，y)则yx2因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a第4页共12页由此及②可得x=21，y=－a＜41从而，所求的轨迹为直线x=21上的y＜41的部分。热点二：利用导数研究函数性质运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。【错解分析】[错例2]已知函数f(x)=21xax在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。误解：f′(x)=2)2(12xa，由f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即2)2(12xa≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤21。剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f(x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0(f′(x))≤0且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=21时，f(x)=21不是单调递减函数，不合题意。(2)在区间D内可导数f(x)，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x∈D时，有f′(x)＞0(＜0＝,则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则x∈D时，恒有f′(x)≥0（≤0）。（不恒为0）（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由[错例2]到[错例3][错例3]函数f(x)=(x2－1)3＋2的极值点是（）A、x=2B、x=－1C、x=1或－1或0D、x=0误解:f(x)=x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1，x=－1和x=0，故正确答案为C.正确解法:事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x)=6x5－第5页共12页12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.f(x)在(－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。剖析：（1）满足f′(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f(x)=22313xx的极值点。（x=±1，0(易遗漏)）【典型题例】例2：(2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数123...nbbbb，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数123,,,...,nbbbb，使这个n＋2个数成等差数列。记An=123...naaaa，Bn=123...nbbbb（1）求数列nA和nB的通项；（2）当n≥7时，比较nA和nB的大小，并证明你的结论。点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的研究，从而用导数求解。解析:（1）因为1，1211122,...,nnknknaaaaaaa，2成等比数列。所以1211122nnknkaaaaaa所以An2=1211()()()2nnnnaaaaaa所以An=22n因为1，123,,,...,nbbbb，2成等差数列，所以12bb=1＋2=3所以Bn=21nbb·n=23n所以数列nA的通项为An=22n，nB的通项为Bn=23n（2）构造函数f（x）=22x－23x（x≥7），则f(7)=272－221＞0又因为f′(x)=21(22xln2－3)＞21(272lne－3)=21(252－3)＞0所以f(x)在[7，＋∞]上单调递增。于是f(x)≥f(7)＞0故有f(n)＞0，即22n＞23n，也就是An＞Bn（n≥7）第6页共12页点评：（1）第（2）问也可先考查n=7,8,9时An，Bn的大小，提出猜想，然后用数学归纳法给予证明。（2）由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2005高考的重点内容，在教学中要足够地重视。例3：设32＜a＜1，函数f(x)=x3－23ax2＋b，(x∈[－1，1])的最大值为1，最小值为－26，求常数a，b的值。点拨：本例需研究f′(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较，以确定a，b的值。解析:f′(x)=3x2－3ax=3x(x－a)x－1(－1，0)0（0，a）a（a，1）1f′(x)＋0－0+f(x)－1－23a＋bb－ba231－23a＋b由表可见，当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=b；当x=a时，f(x)取得极小值f(a)=－ba23，又f(b)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)，f(a)与f(－1)的大小。f(0)－f(1)=b－(1－23a＋b)=23a－1由a∈(32，1)，故23a－1＞0，即f(0)＞f(1)，于是f(x)的最大值为f(0)。因而有b=1.又f(－1)－f(a)=－1－23a＋1－（－123a）=21(a3＋3a－2),因为a∈(32，1)，故a3－3a－2＜0，即f(－1)＜f(a)，f(x)的最小值为f(－1)，于是有－23a=－26，即a=36,综合可知，a=36，b=1点评：（1）可导函数在闭区间上的最值，必定在导数为0的点或端点取得，第7页共12页本例亦可求出导数为0的点，直接将这些点的函数值与端点函数相比较，以确定取得最大值、最小值的点。（2）变：32＜a如何？再由此引出使用导数研究函数有关的性质要注意导数为0的点是否落在区间内。（同时为热点三的错例分析打下基础）【热点冲刺】1．（2001年天津高考题（理8））函数y=1＋3x－x3有极小值-1，极大值32．（2003年连云港二模试题）已知函数f(x)=ax3＋bx2，曲线y=f(x)过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y=0垂直。若f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围m≥0或m≤-3。3．(湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数,)(2axexxf其中a≤0,e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.答案：(Ⅰ).)2()(axeaxxxf（i）当a=0时，令)(xf=0,得x=0.若x0.则)(xf0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;若x0,则)(xf0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.()ii当a0时,令)(xf