5,2不定积分的换元积分法

1.熟练掌握利用第一换元积分法—凑微分法求不定积分学习目的与要求2.熟练掌握利用第二换元积分法求不定积分(1)xedx讨论？(1)xxedxec15uedu515xec5(2)(5)?=xedx5(3)?=xedx5(2)(5)xedx51(5)5xedx15uecueduuec5xec)(______xddx55(3)xedx?5ux设5155xedxxu5设5引例1dudxucedueuu5.2.1第一换元积分法----凑微分法求不定积分.5的特点及解决的方法分析积分dxex解决问题的思路：.2dudx解决问题的方法：.3dudxu1.特点：被积函数中含有复合函数[(()]()fxxdx一般地：))(()]([(xdxfcxF)]([(--第一换元积分法凑微分法求不定积分解决问题的思路：)(baxddx解决问题的方法：)(baxdadx)()(xddxxdxbaxf形如cbaxFa)(1)()(1baxdbaxfaadxbaxfa)(1凑微分的实质：axbaxxu或其中中间变量函数是一个复合函数第一种基本情况：被积)(,41(51)xdx例求441(51)(51)55xdxxdx5125uc51(51)25xc解：第一步凑微分：第二步设变量代换：第三步求不定积分：第四步还原：4151515xdx415udu51ux设cxdxx231xdx例求1313133xdxxdx解：131(31)3xdx32(31)9xccxdxx121(31)(31)3xdx______(31)dxdx3121dxx例3求111221212dxdxxx1ln212xc解：Cxdxxln111(21)212dxx______(21)dxdx2第二种基本情况：被积函数是两个函数的积，其中一个是复合函数，另一个是复合函数中间变量的导数（或差倍数、常数）.dxxxf)()]([(形如))(()]([(xdxfcxF)]([(解决问题的思路：解决问题的方法：)()(xddxx凑微分的实质：)(xddx)()(xddxx湊出：()ux中间变量24.2xxedx例求2222xxxedxexdxuec2xec解：第一步凑微分：第二步设变量代换：第三步求不定积分：第四步还原：uedu2xu设22()xedx)(______2xddxx2xxeduec2351xxdx例求233211133xxdxxxdx解：3311(1)3xdx332(1)9xccxdxx13321(1)(1)3xdx3______(1)dxdx23x6xedxx例求)(____xddx12()2xxedxedxxx解：2()xedx2xecx21cedueuu2117cosdxxx例求)1(_______xddx221111coscos()dxdxxxxx解：11cos()dxx1sincx21xxxeduec218lnxdxx例求21lnxdxx解：2lnlnxdx313uc2uduxuln令xuln还原31(ln)3xc)(ln____xddx1xcxdxx9sinxxeedx例求)(_____xeddxdxeedxeexxxxsinsin解：)(sinxxedecexcosxecuuducossincos10sinxxedx例求______(cos)dxdxcoscossin(sin)xxxedxexdx解：cosxecsinxcos(cos)xedxcedueuu第三种基本情况：被积函数是两个函数的商，其中分子是分母的导数（或差倍数、常数）。221113xdxxx例求2____(3)dxdxx21x22211=(21)33xdxxdxxxxx解：221=(3)3dxxxxCxdxxln12=ln3xxc112lnxdxx例求dxxx1ln解：xxdlnlnCu221uduxuln令xuln还原Cx2)(ln21第四种情况：被积函数是两个函数的积，其中一个是另一个的导数（或差倍数、常数）.)(ln____xddx1x用第一换元法求不定积分可按如下步骤进行：（1）凑微分：dudxxxu)(),(令（2）变量代换：CuFduufuFuf)()()()(的原函数利用常用积分公式求（3）求积分：CxFdxxfxu)]([)()(代回即得将（4）还原：dxxxf)()]([.)()()(duufdxxxf则解：,tx(1):令11(2):211dxtdttx21tdtt(3):22ln1ttc(4):22ln1xxc121+dxx引例讨论,tx,tdtdxaxb被积函数特点：含有“”，被开方式为dttdxtxxt])([)(),(.111并求出设函数dttdxtx])([)(.21代换的积分求关于t.3)(.4xt反代步骤：5.2.2第二换元积分法求不定积分3113dxxx例求5326tdttt原式361tdtt21611ttdtt32116ln132ttttc3662366ln1xxxxc,,:txtx则令解,dttdx,tx则,,txtx小结积分方法直接积分法：把被积函数进行代数的、三角的恒等变形，使其转化为基本积分公式.换元积分法——凑微分法第一换元积分法被积函数中含有复合函数的积分问题第二换元积分法的形式”，被开方式为被积函数含有“bax