3.2第4课时空间向量与空间距离

1第3章3.2第4课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.66aB.306aC.34aD.63a解析：以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，Ma，0，12a，B(a，a,0)，D(0,0,0)，设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量，则n·BM→＝0，且n·DM→＝0，而BM→＝0，－a，12a，DM→＝a，0，12a.所以－y＋12z＝0，x＋12z＝0，所以y＝12z，x＝－12z，令z＝2，则n＝(－1,1,2)，DA1→＝(a,0，a)，则A1到平面BDM的距离是d＝|DA1→·n||n|＝66a.答案：A2.如图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为()A.2B.3C．2D.5解析：AE→＝AB→＋BC→＋CE→，∵|AB→|＝|BC→|＝1＝|CE→|，2且AB→·BC→＝AB→·CE→＝BC→·CE→＝0.又∵AE→2＝(AB→＋BC→＋CE→)2，∴AE→2＝3，∴AE的长为3.故选B.答案：B3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.33B．1C.2D.3解析：如图，A1C1∥面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝3.答案：D4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.12B.24C.22D.32解析：取B1C1的中点E，连结OE，则OE∥C1D1.∴OE∥面ABC1D1，∴O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离．过E作EF⊥BC1，易证EF⊥面ABC1D1EF＝24，∴点O到平面ABC1D1的距离为24，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到BD的距离为________．3解析：作AE⊥BD于E，连结PE，∵PA⊥面ABCD.∴PA⊥BD∴BD⊥面PAEBD⊥PE，即PE的长为点P到BD的距离在Rt△PAE中，AE＝125，PE＝12＋1252＝135.答案：1356．如图所示，在直二面角α－l－β中，A，B∈l，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，AC＝6，AB＝8，BD＝24，则线段CD的长为________．解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，∴AC→·AB→＝0，BD→·AB→＝0，AC→·BD→＝0，∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，∴CD→2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝676，∴|CD→|＝26.答案：26三、解答题(每小题10分，共20分)7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离．解析：如图所示，以A点为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，4则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，所以A1C的方向向量为A1C→＝(1,1，－1)，C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量CC1→＝(0,0,1)所以CC1→在A1C→上的投影为：CC1→·A1C→|A1C→|＝－13.所以点C1到直线A1C的距离d＝|CC1→|2－CC1→·A1C→|A1C→|2＝1－13＝63.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，E0，a，a2，Fa2，0，a，Ga，a2，0，∴EF→＝a2，－a，a2，EG→＝a，－a2，－a2，GA→＝0，－a2，0，设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则n·EF→＝0n·EG→＝0，∴x－2y＋z＝02x－y－z＝0，∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，∴d＝|GA→·n||n|＝a23＝36a.即点A到平面EFG的距离为36a.5尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为263？解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，设BE→＝λBA1→，λ∈(0,1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又AD→＝(－2,0,1)，AE→＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，则n·AD→＝0n·AE→＝0⇒－2x＋z＝02λ－1x＋21－λy＋2λz＝0，取x＝1，则y＝1－3λ1－λ，z＝2，即n＝1，1－3λ1－λ，2.由于d＝|AA1→·n||n|＝263，∴263＝45＋1－3λ1－λ2又λ∈(0,1)，解得λ＝12.6所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为263.